5．已知f(x)?asinx?b3x?4（a、b；实数）且f(lglog310)?5，则f(lglg3)的值是 （ ） （A） ?5 （B） ?3 （C） 3 （D） 随a、b取不同值而取不同值
lg(1?x2)6．函数f(x)?的奇偶性是:
|x?2|?2A.奇函数 B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.不是奇函数又不是偶函数 7．已知函数f?x??loga?ax?x?2??1??在[1,2]上恒正，则实数a的取值范围是 2?( )
（A）?,?
?15??28?（B）??15??3??3?,??? （C）?,???,???
?28??2??2?
（D）?8．函数f?x???1?,??? ?2?x?3?12?3x的值域为（ ）
? B. ?1, 3? C. ?1, 3? D. ?1, 2? A. ?1, 2??????2??9．给定实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是 （ ）
①x?[x]?0②x?[x]?13③f(x)?x?[x]是周期函数④f(x)?x?[x]是偶函数
10．函数f(x)?x?x?10sinx?3,(x?[?10,10])，则fmin(x)?fmax(x)? 11。实数x，y满足x2＝2xsin(xy)－1，则x2006＋6sin5y＝______________ 12．方程ln(x?1＋x)＋ln(4x?1＋2x)＋3x＝0的解集是 3??x?sinx?2a?013．.已知x,y?[?,],a?R,且?3，则cos(x?2y)=
44??4y?sinycosy?a?022??14．下列说法正确的是
（1）函数y?f(a?x)与y?f(a?x)关于直线x?a对称； （2）函数y?f(a?x)与y?f(a?x)关于y轴对称；
（3）若函数f(x)满足f(a?x)=f(a?x)，则f(x)关于直线x?a对称； （4）若函数f(x)满足f(a?x)=f(a?x)，则f(x)关于y轴对称 15．若函数
f(x)的定义域为R，且对于x的任意值都有
第20页
f(x?2005)?f(x?2004)?f(x?2006)，
则函数f(x)的周期为__________。
16．设方程log3x?x?3?0的根为x1,方程3?x?3?0的根为x2,则x1?x2 = 17．函数f(x)?min{4x?1,x?2,?2x?4}，则fmax(x)? 18．设x?1,y?1,S?{logx2,log2y,logy(8x)}则S的最大值为 19．设函数f0(x)?x,f1(x)?f0(x)?1,f2(x)?f1(x)?2，求函数y?f2(x)的图象与x轴所围成的封闭部分的面积．
20．k为何实数时，方程x2?2x?3?k有四个互不相等的实数根．
21．(1)若函数满足f(a?x)?f(a?x)，求证f(x)的图像就关于直线x?a对称
(2)函数f(x)?x?2x?4x?cx的图像关于某条垂直于x轴的直线对称，求实数c的值 ?x?1,0?x?1?2222．已知f(x)??，定义fn(x)?f(f(?f(x)?)),n?N*
????????2(1?x),1?x?1n个2?（１）求f2001(2)（２）设B??x|f15(x)?x,x?[0,1]?，求证：B中至少含有9个元素．
15函数f(x)的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任何实数x，在定义域中存
4322x在x1,x2，使得x?x1?x2,f(x1)?f(x2)，且满足以下三个条件：（１）x1,x2是定义域中的数，
f(x1)?f(x2)或0?x1?x2?2a，则f(x1?x2)?f(x1)f(x2)?1；（２）f(a)?1（a是一
f(x2)?f(x1)个正常数）；（３）当0?x?2a时，f(x)?0．求证：（１）f(x)是奇函数；（２）f(x)是周期函数，并求出其周期；（３）f(x)在(0,4a)内为减函数．
§2.2 二次函数
一、 基础知识： 1． 二次函数的解析式
（1）一般式：f(x)?ax2?bx?c(a?0)
（2）顶点式：f(x)?a(x?h)2?k，顶点为(h,k) （3）两根式：f(x)?a(x?x1)(x?x2) （4）三点式：f(x)?(x?x1)(x?x3)(x?x2)(x?x3)(x?x1)(x?x2)f(x3)?f(x2)?f(x1)
(x3?x1)(x3?x2)(x2?x1)(x2?x3)(x1?x2)(x1?x3)2．二次函数的图像和性质
b4ac?b2（1）f(x)?ax?bx?c(a?0)的图像是一条抛物线，顶点坐标是(?,)，对称轴方程为
2a4a2第21页
x??b，开口与a有关。 2abb]上为减函数，在[?,??)上为增函数；a?0时相反。 2a2a（3）奇偶性：当b?0时，f(x)为偶函数；若f(a?x)?f(a?x)对x?R恒成立，则x?a为f(x)的
（2）单调性：当a?0时，f(x)在(??,?对称轴。
4ac?b2b（4）最值：当x?R时，f(x)的最值为，当x?[m,n],??[m,n]时，f(x)的最值可从
4a2af(m),f(n),f(?bb)中选取；当x?[m,n],??[m,n]时，f(x)的最值可从f(m),f(n)中选取。常依2a2a轴与区间[m,n]的位置分类讨论。 3．三个二次之间的关联及根的分布理论：
二次方程f(x)?ax2?bx?c?0(a?0)的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。 二、 综合应用：
例1：已知f(x)?x2?ax?3?a，若x?[?2,2]时，f(x)?0恒成立，求a的取值范围。
例2．设f(x)?ax2?bx?c(a?0)满足条件：（1）当x?R时，f(x?4)?f(2?x)且f(x)?x，（2）当
?x?1? （3）f(x)在R上的最小值为0。①求f(x)的解析式；②求最大的m(m?1)x?(0,2)时,f(x)???，
?2?使得存在t?R，只要x?[1,m]就有f(x?t)?x。
设实数a、b、c满足
a2－bc－8a＋7＝0 …………① b2＋c2＋bc－6a＋6＝0 …………② 求a的取值范围.
2分析：如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题，转化为只含有a的不等式，是解决本题的关键，仔细分析观察方程组的特点，发现可以利用a来表示bc及b＋c，从而用韦达定理构造出a为变量的一元二次方程，由△≥0建立a的不等式. 解：由①得：bc＝a2－8a＋7 …………③
由①②得：(b＋c)2＝a2－2a＋1 即b＋c＝±(a－1) …………④
由③④得b，c为方程x2±(a－1)x＋(a2－8a＋7)＝0的两个实数根，
由于b，c∈R，所以△≥0即：[±(a－1)]2－4(a2－8a＋7)≥0即：a2－10a＋9≤0得：1≤a≤9
例3。已知二次函数f(x)?ax?bx?c和一次函数g(x)??bx，其中a,b,c满足
2a?b?c，a?b?c?0，(a,b,c?R)．
（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A、B； （2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的范围。
命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力. 知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，第22页
老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”. 技巧与方法：利用方程思想巧妙转化. ?y?ax2?bx?c(1)证明：由?消去y得ax2+2bx+c=0 ?y??bxc322222Δ=4b－4ac=4(－a－c)－4ac=4(a+ac+c)=4［(a+)2?c］ 243∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. 42bc(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=. aa|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 2b24c4b2?4ac4(?a?c)2?4ac?(?)???2aaaa2 ∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 ccc13?4[()2??1]?4[(?)2?]aaa24c1∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－) 2acccc1∵f()?4[()2??1]的对称轴方程是??. aaaa2c1∈(－2,－)时，为减函数 ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(3,23). 2a例4．已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b是常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x有等根。 ①求f(x)的解析式；
②是否存在实数m，n (m ∵f(x－1)=f(3－x)?f(x)=f(2-x)?图象的对称轴为x=-∴f(x)=-x2+2x ②f(x)=-(x-1)2+1≤1 ∴4n≤1?n≤b=1?a=-1 2a1 4∵抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1 ∴n≤1时，f(x)在[m,n]上为增函数 4若满足题设条件的m,n存在，则 ?f(m)?4m?m?0或m??2?? ?f(n)?4nn?0或n??2??∵m 第23页 ∴存在m=-2,n=0，满足条件。 例5．对于函数y=f(x)，若存在实数x0，满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点。已知F1(x)=f(x), F2(x)=f[F1(x)], F3(x)=f[F2(x)], ?, Fn(x)=f[Fn-1(x)] (n∈N*,n≥2)。 ①若f(x)存在不动点，试问F2(x), F3(x), ?,Fn(x)是否存在不动点？写出你的结论，并加以证明。 ②设f(x)=2x-x2。求使所有Fn(x)<0 （n∈N*,n≥2）成立的所有正实数x值的集合。 ①y=f(x)存在不动点x0，则f(x0)=x0，下证x0是Fn(x)的不动点。 ∵F2(x0)=f[F1(x0)]=f[f(x0)]f(x0)=x0 ∴x0也是F2(x)的不动点。 若Fn-1(x)存在不动点x0，即Fn-1(x0)=x0 ∴Fn(x0)=f[Fn-1(x0)]=f(x0)=x0? Fn(x)存在不动点x0 综上所述：对于任意n∈N*,n≥2，Fn(x)都存在不动点，并且有相同的不动点。 ②方法一： ∵f(x)<0?2x－x2<0?x<0或x>2 ∵要使Fn(x)<0 (n≥2)?f[Fn-1(x)]<0?2Fn-1(x)－[Fn-1(x)]2<0?Fn-1(x)<0或Fn-1(x)>2 依此类推，要使F2(x)<0?f[F1(x)]<0?f[f(x)]<0?2f(x)－[f(x)]2<0?f(x)<0或f(x)>2?2x－x2<0或2x－x2>2?x<0(舍去)或x>2或x∈??x>2 ∴所求x的取值范围为(2,+∞)。 ?例6：求实数a的取值范围，使得对于任意实数x和任意实数??[0,]，恒有 2(x?3?2sin?cos?)2?(x?asin??acos?)2?1。 818设t?sin??cos?,t?[1,2]，原不等式化为：(x?2?t2)2?(x?at)2?恒成立 (a?b)2(2?t2?at)2122记f(x)?(x?2?t)?(x?at)，则?f(x)min ， ?a?b? ,?f(x)?2282221(2?t2?at)235???2t2?2at?3?0或2t2?2at?5?0， ?a?t?或a?t? 822t2t?1?t?2,?(t?357)min?6;(t?)max?2t2t2?a?6或a?72 例7：已知函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程f(x)?x的两根是x1,x2,且x2?x1?0?t?x1，试比较f(t)与x1的大小。 1，又若a解法一：设F(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c＝a(x－x1)(x－x2)∴ f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x 作差：f(t)－x1＝a(t－x1)(t－x2)＋t－x1 ＝(t－x1)[a(t－x2)＋1] ＝a(t－x1)(t－x2＋又t－x2＋1＜t－(x2－x1)－x1＝t－x1＜0∴ f(t)－x1＞0∴ f(t)＞x1 a1) a解法二：同解法一得f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x 令g(x)＝a(x－x2)∵ a＞0，g(x)是增函数，且t＜x1 ? g(t)＜g(x1)＝a(x1－x2)＜－1 另一方面：f(t)＝g(t)(t－x1)＋t 第24页