f(x)?a(x?因而
bb )?1?a1?af(2)(x)?a2(x?bb )?1?a1?abb f(3)(x)?a3(x?)?1?a1?a??
f(n)(x)?an(x?这里的不动点．
如果x0是函数f(x)的不动点，则x0也是fbb )?1?a1?ab就是方程ax?b?x的根．一般地，方程f(x)?x的根称为函数f(x)的1?a(n)(x)的不动点．可用数学归纳法证明．利
用不动点能较快地求得函数f(x)的n次迭代式．
(n)例4：若f(x)?19x?93，求f(x)．
2
3．相似法
若存在一个函数?(x)以及它的反函数?(x)，使得f(x)??(g(?(x)))，我们称
?1?1f(x)通过?(x)和g(x)相似，简称f(x)和g(x)相似，其中?(x)称为桥函数．
如果f(x)和g(x)相似，即f(x)??(g(?(x)))，则有：f例6：若f(x)?2x?1，求f
(n)例7：若f(x)?x?2x?1，求f(x)．
2(n)?1(n)(x)???1(g(n)(?(x)))．
(x)．
第30页
课后练习
1．若f(x)?x?1的定义域为A，f[f(x)]的定义域为B，则（ ） x?1（C）A?B
（D）AüB （第
（A）A?B?R （B）AYB 5届希望杯）
?2．在正整数集N上定义的函数f(n)???n?3 (n?1000)，则f(90)的值是
?f[f(n?7)] (n?1000)（ ）
（A）997 2届希望杯）
3．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]?4x?3，则f(x)的解析式为 ． 4．已知函数f(x?a)?|x?2|?|x?2|，且f[f(a)]?3，则a? ． （第6届希望杯）
5．设y?f(x)是定义在R上的函数，且对于任意实数a,b，有f[af(b)]?ab，则
（B）998
（C）999
（D）（第1000
|f(1999)?| ．
6．设函数f(n)?k，k是无理数??3.1415926535?的小数点后第n位数字，并且规定
f(0)?3F[f(?．令
F(n)?f(f(f(?f(n))?))?????????10重f，求证：
19?f90f?)F．( fff （第1届希望杯）
7．给定n个数：a1?0.50.5，ak?0.5ak?1（k?2,3,?,n）将这n个数由大到小地排成一
列，定义：第k位上恰是ak的数k（k?2）叫做希望数，试求n?2999时的希望数． （第11届希望杯）
8．设 f(x)?x?a．记f(x)?f(x)，f(x)?f(f21nn?1(x))（n?2,3,?），
1M?{a?R|对任意正整数n,|fn(0)|?2}．证明：M?[?2,]. （2006
4年全国联赛）
第31页
§2.4 抽象函数
知识提要
1．所谓抽象函数泛指不具体的函数，然而抽象函数又多以具体函数为背景，所以研究抽象函数很有应用价值．抽象函数也是高考、竞赛命题的热点之一．
2．抽象函数与它的代表函数
1 抽象函数满足条件 代表函数 f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(x)?kx（k?0） 2 f(x)?ax（a?0,a?1） f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(x)?logax（a?0,a?1） 3 f(4 5 x1)?f(x1)?f(x2) x2f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(x)?xa f(x1)?f(x2)?2f(f(x?1)?x1?x2x?x)?f(12) 221?f(x) 1?f(x)f(x)?cosx 6 f(x)?tan?x4 7 x?xf(x1)?f(x2)?f(12) 1?x1x2f(x)?loga1?x 1?x8 1 f(x)??f(x)f(x)?logax或f(x)?x?1 x3．抽象函数的性质
（1）若f(x)的定义域为R，当x?0时，f(x)?1，且对任意x,y有
f(x?y)?f(x)?f(y)，则f(x)是R上的增函数；
（2）若f(x?y)?f(x)?f(y)对任意实数x,y都成立，则f(x)是奇函数； （3）若f(a?x)??f(b?x)对任意实数x都成立，则f(x)的图像以点(a?b,0)为2第32页
中心对称；
（4）若f(x?T)??1，则2T是f(x)的一个周期． f(x)例题讲解
1．抽象函数的值（值域）
?f(x)例1：函数f(x)的值域(,4]，则g(x)?f(x)27届希望杯）
14的值域为 ．（第
例2：定义为R的函数f(x)，对任何a,b?R，都有f[af(b)?]a，b则
f2(1994?) ．
（第5届希望杯）
例3：设f(x)是[0,1]上的不减函数，即对于0?x1?x2?1有f(x1)?f(x2)，且满足：（1）f(0)?0；（2）f()?
例4：设奇函数y?f(x)的定义域为R，f(1)?2，且对任意x1,x2?R，都有
x311（3）f(1?x)?1?f(x)，则f( f(x)；)? ．
22005f(x1?x2)?f(x1)?
f(x2)，当x?0时，f(x)是增函数，则函数y??f2(x)在区间[?3,?2]上的最大值
是 ．
（第4届希望杯）
第33页
2．抽象函数的单调性
例5：奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为?1，则
2f(?6)?f(?3)? ． （第
14届希望杯）
例6：设f(x)是定义在R?上的增函数，且f(x)?f()?f(y)，若f(3)?1，则
xyf(x)?f(
1)?2成立的x的取值范围是 ． x?53．抽象函数的奇偶性
例7：f(x)是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为2，则
f(1?)f(?2)f（A）1或0 6届希望杯）
??(3)?f
( 1?9（C）0
（D）1 （第
（B）1或?1
例8：函数f(x)的定义域是R，函数g(x)?f(x)?2?f(?x)，已知g(5)??3，则
g(?5)? ．
（第4届希望杯）
4．抽象函数的周期性
例9：定义在实数集上的函数f(x)，满足f(x?1)?1?f(x?1)，
1?f(x?1)第34页