则f(1)?f(2)?f(3)?f(2000)?2000的值为 ． （第12届希望杯）
例10：定义在R上的非常数函数，满足（1）f(10?x)为偶函数；（2）
f(5?x)?f(5?x)，则f(x)一定是（ ）
（A）是偶函数，也是周期函数
（C）是奇函数，也是周期函数 12届希望杯）
（D）是奇函数，但不是周期函数 （第 （B）是偶函数，但不是周期函数
课后练习
1．函数f(x)是定义在R上的实函数，它既关于x?5对称，又关于x?7对称，那么f(x)的周期是（ ） （A）4
（B）2
（C）
? 2
（D）?
2．已知定义域为R的函数f?x?在区间?8,???上为减函数，且函数y?f?x?8?为偶函数，则（ ）
（A）f?6??f?7? （B）f?6??f?9? （C）f?7??f?9? （D）f?7??f?10? （2007年重庆高考）
3．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程
f(x)?0在闭区间??T,T?上的根的个数记为n，则n可能为（ ）
（A）0
（B）1
（C）3
（D）5 （2007
年安徽高考）
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4．定义在R上的函数y?f(x)，它具有下述性质：（1）对任何x?R，都有f(x)?f(x)；（2）对任何x1,x2?R，x1?x2，都有f(x1)?f(x2)．则f(0)?f(1)?f(?1)的值为（ ） （A）0 确定
5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x?1)?f(x)?3，当x?[0,1]时，
（B）1
（C）?1
（D）不
33f(x)?2?x，则f(?2005.5)? ．
6．函数f(x)是定义域为[?1,1]的奇函数，且为增函数，f(1?a)?f(1?a)?0，则实数
2a的取值范围
是 ． （第5届希望杯）
7．定义在R上的函数f(x)，恒有f(x?y)?f(x)?f(y．)若f(16)?4，那么
f(2003)? ．
8．已知函数y?f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2?x)?f(2?x)． （1）证明：函数y?f(x)的图像关于直线x?2对称．
（2）若f(x)又是偶函数，且x?[0,2]时，f(x)?2x?1，求x?[?4,0]时的f(x)的表达式．
9．设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)?f(3)?0． （1）试判断函数y?f(x)的奇偶性；
（2）试求方程f(x)?0在闭区间[?2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论． （2005年广东高考）
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第三章：数列
§3.1 等差数列与等比数列
数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题.
所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1, a2, ?,an, ?通常简记为{an}.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.
从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.
对于数列{an}，把Sn=a1+a2+?+an叫做数列{an}的前n项和，则有
(n?1),?S1an??
S?S(n?2).n?1?nI．等差数列与等比数列
1．等差数列
（1）定义：an?1?an?d(常量)或an?1?（2）通项公式：an=a1+(n－1)d . （3）前n项和公式：Sn?an?an?2. 2n(a1?an)n(n?1)?na1?d. 22（4）等差中项：an?1?an?an?2. 2（5）任意两项：an=am+(n－m)d. （6）性质：
①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n的一次函数；
②公差为非零的等差数列的充要条件是前n项和公式为n的不含常数项的二次函数； ③设{an}是等差数列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq;
④设Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, ?, Spm－S(p－1)m(m>1,p≥3，m、p∈N*)仍成等差数列； ⑤设Sn是等差数列{an}的前n项和，则{Sn}是等差数列； n⑥设{an}是等差数列，则{λan+b}(λ,b是常数)是等差数列；
⑦设{an}与{bn}是等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1，λ2是常数）也是等差数列；
⑧设{an}与{bn}是等差数列，且bn∈N*，则{abn}也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）； ⑨设{an}是等差数列，则{Cn}（c>0, c≠1）是等比数列. 2．等比数列
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（1）定义：
an?1aa?q(常量),或n?2?n?1 anan?1an－
（2）通项公式：an=a1qn1.
(q?1).?na1?（3）前n项和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq
?(q?1).?1?q1?q?（4）等比中项：an?1??anan?2. （5）任意两项：an=amqnm.
（6）无穷递缩等比数列各项和公式：
－
S=
?an?limSn?n?1n????a1(0?|q|?1). 1?q（7）性质：
①设{an}是等比数列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am·an=ap·aq；
②设Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, ?， Spm－S(p－1)m(m>1, p≥3，m、n∈N*)仍为等比数列；
③设{an}是等比数列，则{λan}（λ是常数）、{an}（m∈Z*）仍成等比数列； ④设{an}与{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列；
⑤设{an}是等比数列，{bn}是等差数列，bn∈Z*，则{abn}是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；
⑥设{an}是正项等比数列，则{logcan}(c>0, c≠1)是等差数列.
m赛题精讲
例1 设数列{an}的前n项和Sn=2an－1(n=1, 2,?)，数列{bn}满足b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2，?)，求数列{bn}的前n项之和.
（1996年全国数学联赛二试题1）
【思路分析】欲求数列{bn}前n项和，需先求bn. 由ak=bk+1－bk, 知求ak即可，利用 ak=Sk－Sk－1(k=2, 3, 4,?)可求出ak.
【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1, 又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,
－
因此{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则有an=2n1.
由ak=bk+1－bk，取k=1,2,?,n－1得
a1=b2－b1, a2=b3－b2, a3=b4－b3, ?, an－1=bn－bn－1,将上面n－1个等式相加，得bn－
－－
b1=a1+a2+?+an. 即bn=b1+a1+a2+?+an=3+(1+2+22+?+2n1)=2n1+2,所以数列{bn}的前n项和为
－
Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+?+（2+2n1）=2n+2n－1.
【评述】求数列的前n 项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法.
例2 求证：若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三角形.
【思路分析】由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，知∠B=60°，三个角可设
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为60°－d, 60°, 60°+d，其中d为常数；又由对应的三边a、b、c成等比数列，知b2=ac，或将三边记为a、aq、aq2，其中q为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c.
【证】设△ABC的三个内角为A、B、C及其对边a、b、c，依题意b2=ac, ∠B=60°. 【方法1】由余弦定理，得
a2?c2?b21cosB??cos60??,所以a2?c2?ac?ac,
2ac2整理得(a－c)2=0因此a=c.
故△ABC为正三角形.
【方法2】设a、b、c三边依次为a、aq、aq2，由余弦定理有
a2?(aq)2?(aq2)21??cos60?cosB=,整理得q4－2q2+1=0,解得q=1, q=－（1舍去） 222?a?aq所以a=b=c,故此△ABC为正三角形.
【方法3】因为b2=ac, 由正弦定理：
(2RsinB)2=2RsinA·2RsinC（其中R是△ABC外接圆半径）即sin2B=sinA·sinC，把 B=60°代入得sinA·sinC=
313，整理得[cos(A－C)－cos(A+C)=，即cos(A－C)=1,424所以A=C，且∠B=60°，故此△ABC为正三角形.
【方法4】将60°－d, 60°, 60°+d代入sin2B=sinAsinC, 得sin(60°－d)·sin(60°+d)=
313，即[cos(2d)－cos120°]= . 424得cos2d=1, d=0°,所以∠A=∠B=∠C，故△ABC为正三角形.
【评述】方法1、2着眼于边，方法3、4着眼于角.
例3 各项都是正数的数列{an}中，若前n项的和Sn满足2Sn=an+
1,求此数列的通项an公式.
【思路分析】 在Sn与an的混合型中，应整理成数列{Sn}的递推式或数列{an}的递推式，然后用递推关系式先求出Sn，再求an，或直接求an.本题容易得到数列{Sn}的递推式，利用an=Sn－Sn－1先求出Sn，再求an即可.
【解】n≥2时，将an=Sn－Sn－1代入2Sn=an+
11,得2Sn=Sn－Sn－1+,整理得 anSn?Sn?1222Sn?Sn?1(n?2),且S?a?1,{S所以数列 ?111n}是首项为1，公差为1的等差数列，
即Sn?1?(n?1)?1?n,Sn?时，由2S1=a1+
2n,从而an?Sn?Sn?1?n?n?1(n?2),当n=1
1,得a1=1也满足an?n?n?1. ann?n?1.
故数列{an}的通项公式为an?第39页