新人教版九年级数学上册22章导学案 姓名： 年级：
22．1 一元二次方程（1）
学习目标：
了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；?应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
1．通过设置问题，建立数学模型，?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点（关键）：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
一、自学展示 1.学前准备 1、只含有_____个未知数，且未知数的最高次数是_______的整式方程叫一元一次方程 2、方程2（x+1）=3的解是____________
3、方程3x+2x=0.44含有____个未知数，含有未知数项的最高次数是_____，它____ （填“是”或“不是”）一元一次方程。
2、自主探究 问题1 要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m，则上部高________,得方程
________________________ 整理得： ____________________________ ① 问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程
_____________________________ x
整理得
_____________________________ ②
问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，
赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为___________
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。列方程____________________________化简整理得 ____________________________ ③ 二合作探究： 请口答下面问题：
（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________ （2）它们最高次数分别是几次？___________ 方程①②③的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程.
1.一元二次方程:_____________________________________________ 2. 一元二次方程的一般形式:____________________________ 三．质疑导学
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是
1
新人教版九年级数学上册22章导学案 姓名： 年级：
____________，_____是二次项系数；bx是__________,_____是一次项系数；_____是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数a?0是一个重要条件，不能漏掉。）
3. 例 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 练一练
1:判断下列方程是否为一元二次方程，为什么？ (1)1 ｘ?2?0 (2)2(x2-1)=3y
(3) 2ｘ－23x－1?0 (4)12 x2－x=0
(5) (x?3)2?(x?3)2 (6)9x2=5－4x 2将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常数项： ⑴ 5x2-1=4x ⑵ 4x2=81 ⑶ 4x(x+2)=25 ⑷ (3x-2)(x+1)=8x-3
四．学习检测
1.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： ⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;
⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
4．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______， 常数项为_________．
5、(1)方程x2?nx?7?n中，有一个根为2，则n的值.
(2)一元二次方程?m?1?x2?x?m2?1?0有一个解为0，试求方程2m?1?0的
6．关于x的方程（m2-m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
五 、学后反思：
2
新人教版九年级数学上册22章导学案 姓名： 年级：
22．1 一元二次方程（2）
学习目标： 1．了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
2．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根． 重点：判定一个数是否是方程的根；
难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
一、自学展示 1.学前准备
一元二次方程的一般形式:____________________________ 2、自主探究：
问题: 一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，?苗圃的长和宽各是多少？
分析：设苗圃的宽为xm，则长为_______m． 根据题意，得___________________． 整理，得________________________． 1)下面哪些数是上述方程的根？
0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
2)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。
3)将x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根吗？
4)虽然上面的方程有两个根（______和______）但是苗圃的宽只有一个答案，即宽为_______.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解． 练习：1.你能想出下列方程的根吗？
(1) x2 -36 = 0 (2) 4x2-9 = 0 2.下面哪些数是方程x2+x-12=0的根？
-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。 二合作探究 活动1：预习反馈，明确概念
活动2：典型例题，初步应用
1.下面哪些数是方程x2-x-6=0的根？
-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。
2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
(1) x2?25?0 (2) 3x2?1 (3)
9x2?16?0
三．质疑导学1.写出下列方程的根：
（1）9x2 = 1 （2）25x2-4 = 0 （3）4x2 = 2
3
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2. 下列各未知数的值是方程3x3.根据表格确定方程xx 22?x?2?0的解的是（ ）
A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D. x=-2
?8x?7.5=0的解的范围____________
1.1 -0.09 1.2 -0.66 1.3 -1.21
1.0 0.5 x2?8x?7.5 4.已知方程3x2?9x?m?0的一个根是1，则m的值是______
5.试写出方程x2-x=0的根，你能写出几个？
活动4：归纳小结
1.使一元二次方程成立的____________的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的________。
2.由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解______________ 四．学习检测
1.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
2x?x的根是__________；方程x（x-1）=2的两根为________ 2.一元二次方程
3.写出一个以x?2为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：
_________________。
4.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
22(a?1)x?x?a?1?0的一个根是0，a的值
5. 若关于X的一元二次方程
是几？你能得出这个方程的其他根吗？ 6. 若
x2?2x?2，则
2x2?4x?3?_____________。已知
m是方程
x2?x?6?0的一个根，则代数式m2?m?________。
7. 如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
22x(x?1)?x?x?2化成一般形式是______________,二次项是____一次8.把
项系数是_______，常数项是_______。
9.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则ac?=（ ）． bb A．1 B．-1 C．0 D．2 11.方程x（x-1）=2的两根为（ ）．
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 13. 请用以前所学的知识求出下列方程的根。
⑴(x-2)=1 ⑵9(x-2) 2=1 ⑶x2+2x+1=4 ⑷x2-6x+9=0
五 、学后反思：
4
新人教版九年级数学上册22章导学案 姓名： 年级：
22.2.1 直接开平方法解一元二次方程
学习目标：
1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次转化的思想． 难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． 一、自学展示 1.学前准备
我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 2、自主探究：
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？ 二合作探究：
计算：用直接开平方法解下列方程：
（1）x2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x2+6x+9=2
（4）4m2-9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x-1)2-9=108 三．质疑导学
解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”．
归纳：如果方程能化成 的形式，那么可得 应用直接开平方法解形如 ，那么可得 达到降次转化之目的． 例1用直接开平方法解下列方程：
（1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2-24n+16=11
练习：（1）2x2-8=0 （2）9x2-5=3 （3）(x+6)2-9=0
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