新人教版九年级数学上册22章导学案 姓名： 年级：
第4课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1、 了解什么是一元二次方程根的判别式； 2、 知道一元二次方程根的判别式的应用。
重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况； 难点：根的判别式的变式应用。 一、自学展示 1.学前准备
一元二次方程ax2
＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2
－4ac___0时才有实数根
观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：
① 当b2
－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不
相等）
②当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③当b2
－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
2、自主探究：这里的b2
－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2
－x＋1＝0，可由b2
－4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根； 二合作探究： 方程根的判别式应用
1、不解方程，判断方程根的情况。
（1）x2
＋2x－8＝0；（2）3x2
＝4x－1；（3）x（3x－2）－6x2
＝0；
（4）x2＋(3＋1)x＝0； （5）x（x＋8 （6）（x＋2）（x－5）＝1；
2．说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2
总有两个不相等的实数根.
解：把化为一般形式得＿＿＿＿＿＿＿＿Δ＝b2
－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＝＿＿＿＿＿＿＿＿ ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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三．质疑导学 应用判别式来确定方程中的待定系数。
（1）m取什么值时，关于x的方程x2
-2x＋m－2＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
解：因为Δ＝b2
－4ac＝＿＿＿ ＝＿＿＿＿＿＿因为方程有两个相等的实数根 所以Δ＝b2
－4ac＿＿＿0，即＿＿＿＿＿＿＿解得ｍ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 这时方程的根ｘ＝
（2）m取什么值时，关于x的方程x2
-(2m＋2)x＋m2
-2m－2＝0没有实数根？
课堂小结 使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项？ 四．学习检测 1、方程x2
-4x＋4＝0的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；
C.有一个实数根； D.没有实数根.
2、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A．x2
＋1＝0 B. x2
+x-1＝0 C. x2
+2x＋3＝0 D. 4x2
-4x＋1＝0 3、若关于x的方程x2
-x＋k＝0没有实数根，则（ ）
A.k＜
1114 B.k ＞4 C. k≤4 D. k≥14 4、关于x的一元二次方程x2
-2x＋2k＝0有实数根，则k得范围是（ ）
A.k＜
11112 B.k ＞2 C. k≤2 D. k≥2 （B）5、ｋ取什么值时，关于x的方程4x2
-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0 有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
6、说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2
＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.
五 、学后反思
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22.2.4因式分解法
学习目标：
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
重点：应用分解因式法解一元二次方程
难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程. 一、自学展示 1.学前准备
将下列各题因式分解am+bm+cm= ; a2
-b2
= ; a2
±2ab+b2
= 因式分解的方法： 2、自主探究： 解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2
+6x=0（用公式法）
2：探究 ：仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？ 二合作探究：
（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，再使_________________________，从而实现_____ ____________， 这种解法叫做__________________。 练习1、说出下列方程的根：
（1）x(x?8)?0 （2）(3x?1)(2x?5)?0 练习2、用因式分解法解下列方程：
(1) x2
-4x=0 (2) 4x2
-49=0 (3) 5x2
-20x+20=0
三．质疑导学
如果a?b?0，那么a?0或b?0，这是因式分解法的根据。 如：如果(x?1)(x?1)?0，那么x?1?0或_______，即x??1或_____
用因式分解法解下列方程 1）4x2
-144=0 （2）(2x-1)2
=(3-x)2
（3）5x2?2x?14?x2?2x?32
4(4)x+x（x-5）=0
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因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1） 将方程右边化为
（2） 将方程左边分解成两个一次因式的 （3）
令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程
（4） 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 四．学习检测 1．方程x(x?3)?0的根是 2．方程2(x?1)2?x?1的根是________________
3．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_________
4．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1、x2，且x1>x2，则x1-2x2的值等于___
5．若（2x+3y）2
+4（2x+3y）+4=0，则2x+3y的值为_________．
6．已知y=x2
-6x+9，当x=______时，y的值为0；当x=_____时，y的值等于9．7．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（ ）
A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，2
8．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ） A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0 C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0 9．方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ）
A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上结论都不对 10、用因式分解法解下列方程：
(1) (4x?1)(5x?7)?0 (2) x2?5x
(3) 3x(x?1)?2(1?x) (4) (x?1)2?25?0
(5) 2(x?3)?x2?9 (6)16(x?2)2?9(x?3)2
11、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。
五 、学后反思：
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22.2.5解一元二次方程（一）
学习目标：
1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法 2、选择合适的方法解一元二次方程
重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程 难点：选择合适的方法解一元二次方程
一、自学展示 1.学前准备1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次 2、自主探究
一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表： 方法名称 直接开平方法 配方法 公式法 理论根据 平方根的定义 完全平方公式 配方法 两个因式的积等于0，那因式分解法 么这两个因式至少有一个等于0 二合作探究：
用适当的方法解下列方程： 1. x
3、X（x-2）+X-2=0 4. x
22适用方程的形式 x2?p或(mx?n)2?p(p?0) 所有的一元二次方程 所有的一元二次方程 一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程 ?7x?0 2. x2?12x?27
?x?2?4
325、5x-2X- =x-2X+4 6. 4(x?2)2
142
?9(2x?1)2
三．质疑导学 我们如何选择解一元二次方程的方法呢？
一般考虑选择方法的顺序是：直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法
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