点集拓扑学
合肥工业大学数学学院
预备知识
1.点集拓扑的定义
《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。
2.点集拓扑的起源
点集拓扑学产生于19世纪。G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。
3.一些参考书籍
（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版 （2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版 （3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年2月第一版
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第一章 集合论初步
在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。
这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。
1.1 集合的基本概念
集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “所有整数的集合”等等．集合也常称为集。
集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”）构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点或成员．
集合也可以没有元素．例如平方等于2 的有理数的集合，既大于1 又小于2 的整数的集合都没有任何元素，这种没有元素的集合我们称之为空集，记作?。此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集．
用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样），是定义集合的一个重要方式．此外，我们还通过以下的方式
｛x︱关于x 的一个命题P }
表示使花括号中竖线后面的那个命题P 成立的所有元素x构成的集合．集合表示方式中的竖线“︱”也可用冒号“: ”或分号“; ”来代替．此外，也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合．
我们常用：
N 表示全体正整数构成的集合，称为正整数集； Z 表示全体整数构成的集合，称为整数集； Q 表示全体有理数构成的集合，称为有理数集； R 表示全体实数构成的集合，称为实数集。
我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、偏序（自反、反对称、传递）、运算以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系．为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念。
定义1.1.1设X和Y 是两个集合．集合(x,y)x?X,y?Y称为X与Y 的笛卡儿积，记作
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??读为X叉乘Y 。其中(x,y)是一个有序偶，X?Y，x称为(x,y)的第一个坐标，y称为(x,y)的第二个坐标．X称为X?Y的第一个坐标集，Y 称X?Y的第二个坐标集．集合X与自身的笛卡儿积X?X称为X的2 重（笛卡儿）积，通常简单记作X2. （有序偶的定义请参考书本）
1.2 集合的基本运算
（略。。。）
1.3关系
定义1.3.1 设X，Y是两个集合，如果R 是X与Y 的笛卡儿积X?Y 的一个子集，即
R?X?Y，那么就称R 是从X到Y 的一个关系。如果(x,y)?R，那么我们称x与y是
R相关的，并且记作xRy．若A?X，则Y的子集
?y?Y存在x?A,使得?x,y??R?
称为集合A 对于关系R 而言的象集，或者简单地称为集合A 的象集，或者称为集合A 的R 象，并且记作R(A)，R?X?称为关系R 的值域．
关系的概念是十分广泛的，大家很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数（映
射），等价，序，运算等等概念都是关系的特例．
定义1.3.2 设R 是从集合X到集合Y 的一个关系，即R?X?Y，这时笛卡儿积Y?X的子集
?(y,x)?Y?XxRy?是从集合Y 到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，并且
?1?1?1R(B)是集合B 的R?1象，我们也常称它为集合B对于B?Y记作R。如果，X的子集
关系R而言的原象，或者集合B的R原象。特别，关系R的值域R(Y)也称为关系R的
?1定义域．
定义1.3.3设R 是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y到集合Z的一个关系，称关系(x,z)?X?Z存在y?Y使得xRy并且ySz为关系R与关系S的复合或积，记作SOR. 定理1.3.4 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y到集合Z的一个关系，T
是从集合Z到集合U的一个关系．则 ( l )(R)?1?1???R ；
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( 2 )(S?R)?1?R?1?S?1 ；
( 3 )T?(S?R)?(T?S)?R
另外，对于X的任意两个子集A和B，我们有： （4）R(A?B)?R(A)?R(B)； （5）R(A?B)?R(A)?R(B)； （6）(S?R)(A)?S(R(A)).
定义1.3.5 集合X中的一个关系R称为集合X中的一个等价关系，如果它满足： （1）自反性，即?x?X,(x,x)?R，或者?(X)?R； （2）对称性，即若(x,y)?R，则(y,x)?R，或者R?1?R；
（3）传递性，即若(x,y)?R,(y,z)?R,则(x,z)?R，或者R?R?R.
1.4 映射
定义1.4.1 设F是从集合X到集合Y的一个关系．若对于每一个x?X，存在唯一的一个
y?Y使得xFy，则称F 是从X到Y的一个映射，并且记作F:X?Y.
定义1.4.2 设X1,X2,?,Xn是n个集合。从笛卡尔集X?X1?X2???Xn到它的第i个坐标集Xi的投射（或称第i个投射）Pi:X?Xi定义为对每一个x?(x1,x2,?,xn)?X，
Pi(x)?xi.
定义1.4.3 设R 是集合X中的一个等价关系．从集合X到它的商集X／R 的自然投射
p:X?X/R定义为对于每一个x?X,p(x)?[x]R.
第二章 拓扑空间与连续映射
2.1 拓扑空间与连续映射
从数学分析中读者已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中，我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义
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