?1则对任意给定的f(x0)的球形邻域B(f(x0),?)，f(B(f(x0),?))(1)*?(1)设(1)*成立，
是x0的一个邻域，根据定理2.2.12, x0有一个球形邻域B(x0,?)包含于
f?1(B(f(x0),?))．因此f(B(x0,?))?B(f(x0,?))．这证明f在点x0处连续．
(2) ?(2) 设（2）成立．令V 为Y 中的一个开集且U?f*?1(V).?x?U，我们有
f(x)?V．由于V 是一个开集，所以V 是f(x)的一个邻域．由于f在每一点处都连续，
故根据(1)可知道U 是x的一个邻域．于是有包含x的某一个开集Ux使得Ux?U，易见
*U?x?U?Ux．由于每一个Ux都是开集，根据定理2.2.10，我们知道U 是一个开集．
(2)*?(2) 设（2）成立．对于任意x?X，设U是f(x)的一个邻域，即存在包含f(x)的
一个开集V?U．从而x?f所以f?1?1(V)?f?1(U)．根据(2)*,我们知道f?1(V)是一个开集，
(U)是x的一个邻域，因此对于x而言，(1)*成立，于是f在点x处连续。由于点
x是任意选取的，所以f是一个连续映射．
2.3 拓扑空间与连续映射
从上一节定理2.2.14可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一
点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本性质（定理2.2.10）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念．现在我们遵循这一思路，即从开集及其基本性质（定理2.2.10 ）出发来建立拓扑空间的概念．
定义2.3.1 设X是一个集合，T 是X的一个子集族．如果T 满足如下条件： (1)X,??T ；
(2)A,B?T ?A?B?T ； (3) T 1? T ??{A:A?T 1}?T .
那么称T 是X的一个拓扑．如果T 是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T ）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑T 而言的拓扑空间；或者当拓扑T 早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，就称集合X是一个拓扑空间。此外T 的每一个元素都叫做拓扑空间（X，T ）中的一个开集．
现在我们可以将上述定义中的三个条件与定理2.2.10的三个结论对照一下，将“U属于T ”读做“U是一个开集”，便会发现两者实际上是一样的．
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现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．
定义2.3.2 设（X，?）是一个度量空间．令T 定理2.2.10，T
??为由X中的所有开集构成的集族，根据
是X的一个拓扑．我们称T
?为X的由度量?诱导出来的拓扑，此外我
?们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，?）的拓扑时，指的就是拓扑T 在称度量空间（X，?）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间(X, T
?；
).
因此，实数空间R，n维欧氏空间Rn（特别，欧氏平面R2) , Hilbert 空间H 都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑分别是由例2.1.1 , 例2.1.2 和例2.1.3 中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．度量空间是拓扑空间中最为重要的一类．此外，我们还有其它一些拓扑空间的例子． 例2.3.3 平庸空间．
设X是一个集合．令T =?X,??，容易验证，T 是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间(X, T )为一个平庸空间．在平庸空间(X, T )中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．
例2.3.4离散空间．
设X是一个集合，令T ＝2X，即T 是由X的所有子集构成的族．容易验证T 是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空间(X, T )为一个离散空间．在离散空间(X, T )中，X的每一个子集都是开集．
例2.3.5 设X＝{ a , b , c } ．令
T ＝{?, {a},{a,b},{a,b,c}}
容易验证T是X的一个拓扑，因此(X, T )是一个拓扑空间，这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．
例2.3.6 有限补空间．
设X是一个集合．对于X的每一个子集A，它的补集X-A 我们写为A．令
'?? T =U?2:U是有限的??X'??可以验证T是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间(X, T )称为一个有限补空
间．
例2.3.7可数补空间. 设X是一个集合．令
?? T =U?2:U是可数的??X'?? 12
可以验证T是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑．拓扑空间(X, T )称为一个可数补空间．
例2.3.8 对于实数集合R来说，我们可以定义五个拓扑，它们是平庸拓扑T t、离散拓扑T s、欧氏拓扑T e、有限补拓扑T
T
tf和可数补拓扑T c．它们的关系是：
? T
f? T c（T e）? T s
一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？
定义2.3.9 设（X，T ）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量?使得拓扑T 是由度量?诱导出来的拓扑，那么称（X，T ）是一个可度量化空间．
根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？由2.1节的习题2,3可以知道，事实上每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的．由此可见，拓扑空间比度量空间的范围要广泛。进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论。
现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．受2.1节中的定理2.2.14的启发，我们能够给出下面定义：
定义2.3.10 设X和Y 是两个拓扑空间，f:X?Y．如果Y中每一个开集U的原象f是X中的一个开集，那么就称f是从X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续．
按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，保证了：当X和Y 是两个度量空间时，如果f:X?Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y 的一个连续映射，反之亦然。
下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．
定理2.3.11 设X，Y和Z都是拓扑空间．则 (1）恒同映射iX:X?X是一个连续映射；
(2）如果f:X?Y和g:Y?Z都是连续映射，则g?f:X?Z也是连续映射． 证明:（l）如果U 是X的一个开集，则iX?1?1(U)(U)?U当然也是X的开集，所以iX连续．
?1g(W)(2）设f:X?Y和g:Y?Z都是连续映射．如果W是Z的一个开集，由于g连续，
是Y 的开集；又由于f连续，所以f?1(g?1(W))是X的开集，因此
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(g?f)?1(W)?f?1(g?1(W))
是X的开集．这证明g?f连续．
在数学科学的许多学科中都要涉及集合和映射，如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态．集合论中的一一映射，线性代数中的（线性）同构，群论中的群同构都是较为特殊的一类映射．类似地，在拓扑中我们也给它们一个特殊名称．
定义2.3.12 设X和Y 是两个拓扑空间，如果f:X?Y是一个一一映射，并且f和f是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚． 定理2.3.13 设X，Y和Z都是拓扑空间．则 (l）恒同映射iX:X?X是一个同胚； (2）若f:X?Y是一个同胚，则f?1?1都
:Y?X也是一个同胚；
(3）若f:X?Y和g:Y?Z都是同胚，则g?f:X?Z也是一个同胚．
根据定理2.3.13，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因此同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．
如果某一个拓扑空间具有某种性质P，那么与其同胚的任何一个拓扑空间也具有性质P，我们就称此性质P是一个拓扑不变性质，也就是说，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．
拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质。
至此我们已经将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．
2.4 邻域与邻域系
我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们在2.2节中先定义了整体连续．
在定理2.2.14中我们已经发现，考虑映射在某一点处的连续性的定义，只要有一个适当的称之为“邻域”的概念。而在2.1节中定义度量空间的邻域时只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念，然后再给出映射在某一点处的连续性的概念．
定义2.4.1 设（X，T ）是一个拓扑空间，x?X．X的一个子集U称为x的一个邻域，如果存在一个开集V 使得x?V?U. 点x的所有邻域构成的X的子集族称为点x的邻域系．易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．
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借助于邻域我们可以给出了开集的刻画如下：
定理2.4.2 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x?U,U便是x的一个邻域．
证明： 定理中条件的必要性是明显的．以下证明充分性，设U??，根据定理中的条件知，对于每一个x?U，存在一个开集Vx，使得x?Vx?U．因此
U???x???Vx?U
x?Ux?U故U?x?U?Vx，根据拓扑的定义，U是一个开集．
下面定理概括了邻域系的基本性质：
定理2.4.3 设X是一个拓扑空间．记ux为点x?X的邻域系，则 (Nl）?x?X,ux?? 且U?ux?x?U； (N2）U,V?ux?U?V?ux； (N3) U?ux且U?V?V?ux；
(N4）如果U?ux，那么存在V?ux使得V?U且?y?V，都有U?uy．
下面定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用，并且这种做法或许还显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁。
定理2.4.4 设X是一个集合，且对于每一点x?X指定X的一个子集族ux，并且它们满足定理2.4.3 中的条件（Nl）一（N4).则X有唯一的一个拓扑T 使得对于每一点x?X，子集族ux恰是点x在拓扑空间（X，T ）中的邻域系． 证明： 令
T ?U?2:?x?U,x?ux
下面验证T 是X的一个拓扑. (1) 显然X,??T ；
?X?A?B?ux，(2) 设A,B?T ，若x?A?B，则A?ux,B?ux，由定理2.4.3中的（N2）知，
因此A?B?T .o
(3) 设T 1? T ，若x??{A:A?T 1},则存在U?T 1，使得x?U.由于U?T ，所以
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