，有?{A:A? T 1}?ux，U?ux；又U??{A:A?T 1}，根据定理2.4.3中的（N3）这就证明了?{A:A? T 1}?T .
现记任意一点x?X的邻域系为ux，下面证明ux?ux.
设U?ux，由定理2.3.4中的（N4）可见存在V?ux使得V?T 且V?U.由定理2.4.3中的条件（N1）和（N3）得U?ux，因此ux?ux.
**另一方面，设U?ux，则存在V?T 使得V?U.由V?ux以及定理2.4.3中的（N3）*知U?ux.这又证明了ux?ux.因此ux?ux.到此证明了邻域系的唯一性。
**********现在将度量空间之间在一点处的连续的映射概念推广到拓扑空间之间的映射中。
定义2.4.5设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y，x?X.如果f(x)的每一个邻域U的原象f?1(U)是x的一个邻域，那么就称f是一个在x处连续的映射，或简称映射f在点x
处连续．
类似于定理2.3.11我们也有下面定理： 定理2.4.6 设X，Y和Z都是拓扑空间．则
(1）恒同映射iX:X?X在每一点处都是连续的；
(2）如果f:X?Y在点x?X处是连续的，g:Y?Z在f(x)处连续，则g?f:X?Z在x处是连续的．
下面定理建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系。
定理2.4.7 设X和Y是两个拓扑空间，则映射f:X?Y连续当且仅当它在每个点处连续. 证明：若U是f(x)的邻域，则存在开集V，使得f(x)?V?U，(?)设映射f连续，x?X，于是f?1(x)?f?1(V)?f?1(U)，有由于f?1(V)是开集，故f?1(U)是x的邻域，这就证
明了f在x处是连续的。
(?)设对于每一个x?X，f在x处连续。若U是Y中的一个开集，则对于每一个点x?f?1(U)，U是f(x)的一个邻域，因此f?1(U)是x的邻域，所以f?1(U)是开集，这
就证明了f是连续的。
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2.5 导集、闭集、闭包
如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．
定义2.5.1 设X是一个拓扑空间，A?X．如果点x的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U?(A?{x})??，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集，记作Ad，如果x?A并且x不是A的聚点，即存在x的一个邻域V，使得V?(A?{x})??那么则称x为A的一个孤立点。
在上述定义之中，凝聚点，导集，以及孤立点的定义无例外都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑，因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到例如凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言．
大家可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，对一般的拓扑空间都有效。以下两个例子可以帮助大家澄清某些不正确的潜在印象。
例2.5.2 离散空间中集合的凝聚点和导集．
设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集。由于X中的每一个单点集都是开集，因此若x?X，则x有一个邻域｛x｝使得?x??(X??x?)??，于是x不是A的聚点．这表明Ad??.
例2.5.3 平庸空间中集合的凝聚点和导集.
设X是平庸空间，A是X中的一个任意子集，我们分三种情形讨论： 1.A??．这时A显然没有任何一个聚点，亦即A??.
2.A 是一个单点集，令A??x0?．如果x?X且x?x0，那么点x只有唯一的一个邻域X，这时X?(A??x?)??，因此x?Add. 然而对于x0的唯一邻域X,有
X?(A??x0?)??．于是x0?Ad.所以Ad?X?A.
3. A包含着多于一个点．此时A?X.(请同学们自己证明) 有了导集的概念后，我们就可以定义闭集了．
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定义2.5.4 设X是一个拓扑空间，A?2X．若A 的每一个聚点都属于A，即A?A，则称A是拓扑空间X中的一个闭集．
例如，离散空间中的任何一个子集都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集．
定理2.5.5 设X是一个拓扑空间，A?2X．则A是闭集当且仅当A的补集A'是开集． 证明：(?)设A是一个闭集，若x?A，则x?A，于是x有一个邻域U使得 U?(A??x?)??，从而U?A??．这表明U?A', 即A'是x的邻域．因此A'是开集．
'd(?)设A'是开集．若x?A'，则A'是x的邻域．由A?A'??可以知道x?Ad．因此，Ad?A,即A是闭集．
例2.5.6 实数空间R中作为闭集的区间．
设a,b?R,a?b．闭区间[a,b]是实数空间R中的一个闭集，因为[a,b]的补集
[a,b]'?(??,a)?(b,??)是一个开集．同理，(??,a]和[b,??)都是闭集，(??,??)?R更是一个闭集，其他区间都不是闭集．
定理2.5.7设X是一个拓扑空间．记F 为所有闭集构成的族．则 (l)X,?? F ；
(2）F 对有限并封闭； (3）F 对任意交封闭．
例2.5.8 Cantor集是实数空间R中的一个闭集． 先定义映射：f1,f2:R?R使得对于任何t?R，有
t2?t. f1(t)?,f2(t)?33容易验证f1,f2都是同胚映射，因此对于任意开集U，f1(U),f2(U)都是开集。 下面按照归纳原则定义一系列开集A1,A2? 令A1?(,)；对于任何n?1，定义
1233An?f1(An?1)?f2(An?1)
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1278127819202526,)?(,)?(,)?(,)；?
99992727272727272727令A??An，它是可数个开集的并，当然是一个开集。容易验证A?[0,1]，令
则A2?(,)?(,)；A3?(n?NC?[0,1]?A?[0,1]?A'
C称为Cantor集或标准Cantor三分集，它是一个闭集。
定义2.5.9 设X是一个拓扑空间，集合A与它的导集Ad的并A?A称为集合A的闭包，记作A或A.
容易看出：x?A当且仅当对于x的任何一个邻域U，有U?A??. 定理2.5.10 拓扑空间X的子集A是闭集的充分必要条件是A?A. 证明：集合A为闭集当且仅当A?A当且仅当A?A?A. 下面定理给出了闭包运算的性质。
定理2.5.11 设X是一个拓扑空间，则?A,B?2，有 （1）???； （2）A?A； （3）A?B?A?B； （4）A?A.
证明：（1）和（2）是显然的。（3）成立，因为
Xd?ddA?B?(A?B)?(A?B)d=A?B?Ad?Bd=(A?Ad)?(B?Bd)=A?B；
（4）成立，因为
A?A?Ad?A?Ad?A?Ad?(Ad)d=A?Ad=A.
定理2.5.12 拓扑空间X的任何一个子集A 的闭包A都是闭集．
定理2.5.13 设X是一个拓扑空间，F 是由空间X中所有闭集构成的族，则对于X的每一个子集A ，有
A??{B?2X:A?B,B?F }
即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交．
给定集合X的一个拓扑T ，X的一个子集对应它的闭包可以看作是一个映射，或者是一个
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一元运算，它被叫做闭包算子。下面我们考虑拓扑和闭包的关系。 定义2.5.14 设X是一个集合．映射c:2个条件：?A,B,C?2, (l）c(?)??; (2) A?c(A);
(3）c(A?B)?c(A)?c(B); (4）c(c(A))?c(A).
定理2.5.15设X是一个集合，c:2XXX?2X被叫做一个闭包算子，如果它满足下面四
?2X是集合X的一个闭包算子，则存在X的唯一一
个拓扑T ，使得在拓扑空间(X, T )中，对于每一个A?2X，有c(A)?A. 证明：我们证明X的子集族
T =U?2:c(U)?U便是满足定理要求的那个唯一的拓扑。首先验证T 是X的一个拓扑。
(1)根据(1)我们知道c(X)?c(?)???X，因此X?T ．根据（2）我们知道c(X)?X，因此c(?)?c(X)?X??，于是??T ．
(2)设A,B?T ，则c(A)?A且c(B)?B，再由(3),
''''''''?X''?c((A?B)')?c(A'?B')?c(A')?c(B')?A'?B'?(A?B)'
因此，A?B?T . （3）T
1?T ，即X的子集族T 1满足条件：对任意的A?T 1，有c(A')?A'.于是
c((?{A:A? T 1}）'）=c(?{A':A?T 1}）??{c(A'):A?T 1}
??{A':A?T 1}=(?{A:A?T 1}）'
因此，?{A:A?T 1}?T .
假设F 是X的另一个满足定理要求的拓扑，也就是说，任何一个集合A在拓扑空间(X, F )中的闭包也是c（A)．此时易见，一个集合在拓扑空间（X，T ）中是闭集当且仅当它在拓扑空间(X, F )中是闭集．这说明T ＝F ．
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