度量空间之间的连续映射．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射．随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等。
2.2 度量空间与连续映射
首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义，一个函数f:R?R被称为在点x0?R处是连续的，如果对于任意实数??0，存在实数??0，使得对于任何
x?R，当x?x0??时，恒有f(x)?f(x0)??.在这个定义中只涉及两个实数之间的
距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关．关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念．
定义2.2.1 设X是一个集合，?:X?X?R是映射．如果对于任何x,y,z?X，有 (1) 正定性，?(x,y)?0，并且?(x,y)?0当且仅当x?y； (2) 对称性，?(x,y)??(y,x)；
(3) 三角不等式，?(x,z)??(x,y)??(y,z). 则称?是X上的一个度量。
若?是集合X上的一个度量，则称偶对(X,?)是一个度量空间，或称X是一个具有度量?的度量空间．当度量?早有约定时，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们就称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x,y?X，实数?(x,y)称为点x和点y之间的距离． 例2.2.2 实数空间R.
对于实数集合R，定义?:R?R?R如下：对于任意x,y?R,令
?(x,y)?x?y
容易验证?是R的一个度量，因此偶对(X,?)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或实直线，这里定义的度量?称为R的通常度量，并且常常略而不写?，简称R为实数空间．
例2.2.3 n维欧式空间R.
n对于实数集合R的n重笛卡尔集R?R?R???R，定义?:R?R?R如下：
nnnn对于任意的x?(x1,x2,?,xn),y?(y1,y2,?,yn)?R，令
6
?(x,y)??(xi?1ni?yi)2.
容易验证?是Rn的一个度量，因此偶对(R,?)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．这里定义的度量?称为Rn的通常度量，并且常常略而不写?，而称Rn为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面． 例2.2.4 Hilbert空间
记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即：
???2H??x?(x1,x2,?)xi?R,i?N,?xi???
i?1??n定义?:H?H?R如下：对任意的x?(x1,x2,?),y?(y1,y2,?)?H，
?(x,y)??(xi?1?i?yi)2
容易验证?是H的一个度量，偶对（H，?）是一个度量空间，这个度量空间称为Hilbert
空间。这里定义的度量?称为H的通常度量，并且常常略而不写?，而称H为Hilbert空间．
例2.2.5 离散的度量空间
设(X, ?)是一个度量空间．称(X, ?)是离散的，或者?称是X的一个离散度量，如果对于每一个x?X，存在一个实数?x?0使得对于任何y?X,(y?x)，都有?(x,y)??x.例如我们假定X是一个集合，定义?使得对于任何x,y?X，有：
?(x,y)???1,x?y;
?0,x?y.容易验证?是X的一个离散度量。因此度量空间(X, ?)是离散的。
离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的． 定义2.2.6 设(X, ?)是一个度量空间，对于任意给定的实数??0，定义
B(x,?)??y?X?(x,y)???
B(x,?)称为以x为中心，?为半径的球形邻域，简称为x的一个?邻域。
定理2.2.7 度量空间(X, ?)的球形邻域具有以下基本性质：
（1） 每一点x至少有一个球形邻域U，并且点x属于它的每一个球形邻域； （2） 对于点x的任意两个球形邻域U，V，存在x的一个球形邻域W同时包含于U与V中； （3） 如果y属于x的某一个球形邻城U，那么y有一个球形邻域V?U.
证明：（1）设x?X，对每一个实数??0，B(x,?)是x的一个球形邻域，这说明x至少
7
有一个球形邻域；由于?(x,x)?0??，故x属于它的每一个球形邻域。 （2）设B(x,?1)和B(x,?2)是x的两个球形邻域，任意选取实数
??0，使得
??min{?1,?2}，则易见B(x,?)?B(x,?1)?B(x,?2)，即B(x,?)满足要求。
（3）设y?B(x,?),令?1????(x,y).显然，?1?0，若z?B(y,?1)，则
?(z,x)??(z,y)??(y,x)??1??(y,x)??
所以z?B(x,?)，这就证明了B(y1,?1)?B(x,?).
定义2.2.8 设A 是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每个a?A，都存在实数??0使得B(a,?)?A，那么称A是度量空间X中的一个开集．
例2.2.9 实数空间R中的开区间都是开集．
设a,b?R且a?b，则开区间(a,b)?x?Ra?x?b是R中的一个开集。这是因为 如果x?(a,b),令??min{x?a,b?x}，则B(x,?)?(a,b).
同样容易证明无限的开区间(a,??),(??,b),(??,??)都是R中的开集。而闭区间
??[a,b]?{x?Ra?x?b}却不是R中的开集。因为对于a?[a,b]以及任何??0，
B(a,?)?[a,b]都不成立。类似地，半开半闭区间(a,b],[a,b)以及无限区间[a,??)和(??,b]都不是R中的开集。
定理2.2.10度量空间X中的开集具有以下性质： (1)集合X本身和空集?都是开集；
(2)任意两个开集的交是一个开集；
(3)任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．
证明：(1)根据定理2.2.7(1)，X中每个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X中，所以X满足开集的条件；空集?中不包含任何一个点，也自然地可以认为它满足开集的条件．
8
(2)设U和V是X中的两个开集．如果x?U?V，那么存在x的一个球形邻域B(x,?1)包含于U，同时也存在x的一个球形邻域B(x,?2)包含于V．根据定理2.2.7(2)，x有一个球形邻域B(x,?)同时包含于B(x,?1)和B(x,?2)，因此:
B(x,?)?B(x,?1)?B(x,?2)?U?V
由于U?V中的每一点都有一个球形邻域包含于U?V，所以U?V是一个开集． ( 3 ）设A是一个由X中的开集构成的子集族，如果x??A,那么存在A0?A使得
x?A0．由于A0是一个开集，所以x有一个球形邻域包含于A0，显然这个球形邻域也包
含于?A．这证明?A是X中的一个开集． 此外，根据定理2.2.7，每一个球形邻域都是开集．
为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广.
定义2.2.11 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x?V?U，那么称U是点x的一个邻域．
经过这样的推广以后，邻域就不一定是开集了。比如：实数空间中的区间[a,b),除了a点以外，该区间是其中任意一点的邻域。
下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．
定理2.2.12 设x是度量空间X中的一个点，则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U .
证明：如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义,存在开集V使得x?V?U，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V, 从而这个球形邻域也就包含于U，这证明U满足定理的条件．反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．
现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射． 首先回忆一下在数学分析中学过的连续函数的定义： 函数f:R?R称为在x0?R处是连续的
????0,???0,使得?x?R，当x?x0??时，恒有f(x)?f(x0)??
9
????0,???0,使得?x?R，当x0???x?x0??时，恒有
f(x0)???f(x)?f(x0)??
????0,???0,使得?x?(x0??,x0??)，恒有f(x)?(f(x0)??,f(x0)??) ????0,???0,使得f(x0??,x0??)?(f(x0)??,f(x0)??)
定义2.2.13 设X和Y是两个度量空间，f:X?Y是映射且x0?X．若对于f(x0)的任何球形邻域B(f(x0),?)，都存在x0的某个球形邻域B(x0,?)使得
f(B(x0,?))?B(f(x0),?)
则称映射f在点x0处是连续的．
若映射f在X的每一个点x处连续，则称f是一个连续映射．
以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的推广．下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点。
定理2.2.14 设X和Y是两个度量空间，f:X?Y是映射且x0?X．则下述条件(1)和(2)分别等价于条件(1) 和(2)： (1) f在点x0处是连续的；
**(1)*f(x0)的每一个邻域的原象是x0的一个邻域；
(2) f是一个连续映射；
(2)* Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．
证明：(1)? (1)*设(1)成立．令U为f(x0)的一个邻域，由定理2.2.12 , f(x0)有球
形邻域B(f(x0),?)包含于U．由于f在点x0处是连续的，故x0有一个球形邻域B(x0,?)，使得f(B(x0,?))?B(f(x0),?)．又f?1(B(f(x0),?))?f?1(U)，故B(x0,?)?f?1(U)
这证明f?1(U)是x0的一个邻域。
10