n维单位开、闭球体
?D??x?(x1,x2,?xn)?Rn?n?2x?1??ii?1?
n?1?E??x?(x1,x2,?xn)?Rn?n?xi?1??i?1?
n?12以及n维单位开、闭方体(0,1)和[0,1]等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考
虑相应的度量诱导出来的拓扑）.
定理3.1.2 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V 使得U?V?Y.
证明:由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于
x?X(y?Y)，临时记度量空间X(Y)中以x(y)为中心，以??0为半径的球形邻域为
nnBX(x,?)(BY(y,?)).
首先指出：对于任何y?Y,??0，有
BY(y,?)?BX(y,?)?Y
这是因为一个点z?X属于BY(y,?)，动当且仅当z是Y中的一个点并且它与y在Y中的距离（即它与y在X中的距离）小于?.
现在设U是Y中的一个开集，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，（设为A ）的并．于是
U??{BY(y,?):BY(y,?)?A }
=?{BY(y,?)?Y:BY(y,?)?A } =(?{BY(y,?):BY(y,?)?A })?Y
设V??{BX(y,?):BX(y,?)?A }，它是X中的一个开集，并且有U?V?Y. 另一方面，设U?V?Y，其中V是X中的一个开集，若y?U,则有y?Y,y?V.于是在X中存在y的一个球形邻域BX(y,?)?V.此时BY(y,?)?BX(y,?)?Y?U.这就证明了U是Y的一个开集。
按照定理3.1.2 的启示，我们来逐步完成本节开始时所提出的任务．
定义3.1.3 设A是一个集族，Y是一个集合．集族{A?YA?A }称为集族A 在集合Y上的限制，记作了A
Y．
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引理3.1.4 设Y是拓扑空间（X，T ）的一个子集，则集族T 证明：我们验证T
满足拓扑定义中的三个条件：
Y是Y的一个拓扑．
Y(i) 由于X?T 和Y?X?Y，所以Y?T
~~Y，由于??T 和????Y，所以??T
~~Y.
(ii) 如果A,B?T
Y，即存在A,B?T 使得A?A?Y,B?B?Y．于是
~~~~A?B?(A?Y)?(B?Y)?(A?B)?Y
由于A?B?T ，所以A?B?T
~~Y.
~ (iii) 如果T 1是集族T
Y的一个子集族，即对于每一个A?T 1，存在A?T 使得
A?A?Y，那么
~?{A:A?T 1}=?{A?Y:A?T 1}=（?{A:A?T 1}）?Y
由于?{A:A?T 1}?T ，所以?{A:A?T 1}?T
~~~Y.
称为（相对于X的拓扑T
定义3.1.5设Y是拓扑空间（X，T ）的一个子集，Y的拓扑T 而言的）相对拓扑；拓扑空间(Y, T
YY)称为拓扑空间（X，T ）的一个（拓扑）子空间．
我们常说拓扑空间Y是拓扑空间X 的一个子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的拓扑就是对于X 的拓扑而言的相对拓扑．此外，我们也常将拓扑空间的子集认为是一个子空间而不另行说明．
假设Y是度量空间X的一个子空间．现在有两个途径得到Y的拓扑：一是通过X的度量诱导出Y的度量，然后考虑Y的这个度量诱导出来的拓扑；另一是先将X考虑成一个拓扑空间，然后考虑Y的拓扑为X的拓扑在Y上引出来的相对拓扑．事实上，定理3.1.2 已经指出经由这两种途径得到的Y的两个拓扑是一样的．下面把这层意思重新叙述一遍． 定理3.1.6 设Y是度量空间X的一个度量子空间，则X 与Y都考虑作为拓扑空间时，Y是X 的一个（拓扑）子空间．
定理3.1.7 设X,Y,Z都是拓扑空间，如果Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间，则Z 是X的一个子空间．
证明:当Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间时，我们有Z?Y?X；并且若设T为X的拓扑时，Z的拓扑是
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(T
Y)
Z={U?YU?T }
Z
={U?Y?ZU?T } ={U?ZU?T }= T
因此Z是X的一个子空间．
定理3.1.8 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y?Y．则 (l）分别记T 和T '为X和Y的拓扑，则T '= T
；
；
ZY(2）分别记F 和F '为X和Y的全体闭集构成的族，则F '= F (3）分别记uy和uy为点y在X和Y中的邻域系，则uy?uy证明：（l）即是子空间和相对拓扑的定义． (2)成立是因为
F
Y''YY．
= {X?UU?T }
Y
= {(X?U)?YU?T } = {Y?U?YU?T } ={Y?UU?T ' }= F '
'（3）设U?uy，则存在V?T 使得y?V?U.因此存在V1?T 使得V?V1?Y.令
'''U1?V1?U.由于y?V1?U1,故U1?uy并且U1?Y?(V1?U)?Y?V?U?U.所
以U?uyY.这就证明了uy?uy'Y.类似也可证明uy?uy'Y.
定理3.1.9 设Y是拓扑空间X的一个子空间，A是Y的一个子集，则 (1) A在Y中的导集是A在X中的导集与Y的交； (2) A在Y中的闭包是A在X中的闭包与Y的交．
证明:为证明这个定理，我们仍分别记A在X中的导集和闭包为d(A）和A.而记A在Y中的导集和闭包分别为dY(A)和cY(A)．
(1）一方面，设y?dY(A)，则对于y在X中的任何一个邻域U, 根据定理3.1.8,U?Y是y在Y中的一个邻域．所以U?(A?{y})?(U?Y)?(A?{y})??
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因此y?d(A)．此外当然有y?Y.所以y?d(A)?Y．这证明dY(A)?d(A)?Y.
另一方面，设y?d(A)?Y.令V为y在Y中的任何一个邻域，则存在y在X中的一个邻域U使得V?U?Y．由于U?(A?{y})??，以及A?Y，我们有V?(A?{y})?Y．
于是V?(A?{y})?(U?(A?{y}))?Y?U?(A?{y})??,所以y?dY(A)．这证明dY(A)?d(A)?Y. (2）成立是因为
cY(A)?A?dY(A)?A?(d(A)?Y) ?(A?d(A))?(A?Y)?A?Y
定理3.1.10 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y?Y，则 (1）如果B是拓扑空间X的一个基，则B
是子空间Y的一个基；
是点y在子空间Y中的一个邻域
Y(2）如果vy是点y在拓扑空间X中的一个邻域基，则vy基．
Y证明:（l）设B是X的一个基．对于Y中的任何一个开集U，存在X中的一个开集V使得
U?V?Y；存在B的一个子族B1使得V??{B:B?B1}．因此
U??{B?Y:B?B1}
由于上式中的每一个B?Y是B些元素之并了．因此B
YY中的一个元素,所以在上式中U已经表示成了B
Y中的某
是Y的一个基．
(2）设vy是点y在X中的一个邻域基．如果U是y在Y中的一个邻域，则存在y在X中的一个邻域V使得U?V?Y；于是存在V1?vy使得V1?V．从而V1?Y是y在Y中的一个邻域，并且V1?Y?V?Y?U，其中V1?Y?vy中的一个邻域基．
“子空间”事实上是从大拓扑空间中“切割”出来的一部分．这里有一个反问题，就是：一个拓扑空间什么时候是另一个拓扑空间的子空间？换言之，一个拓扑空间在什么条件下能够“镶嵌”到另一个拓扑空间中去？
定义3.1.11 设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y，映射f称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是从X到它的像集f(X)的一个同胚．如果存在一个嵌入f:X?Y，我们说拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y.
Y．这证明vyY是点y在子空间Y
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在这个定义中谈到映射f:X?Y是从X到它的像集f(X)的一个同胚，这句话完全精确的意思是映射f:X?f(X)，定义为对于任何x?X有f(x)?f(x)?f(X)，是一个同胚．为了省事，我们也把映射f也记作f，必须区别时应在上下文中说明．事实上，拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y意思就是拓扑空间X与拓扑空间Y的某一个子空间同胚．换言之，在不区别同胚的两个拓扑空间的意义下，X“就是”Y的一个子空间．
不能嵌入的一个简单例子是，一个离散空间，如果它含有多于一个点，就决不可能嵌入到任何一个平庸空间中去；反之，一个平庸空间，如果它含有多于一个点，也决不可能嵌入到任何一个离散空间中去．欧氏平面中的单位圆周是否可以嵌入到实数空间（即直线）中去呢？这个问题我们到第四章中再作处理．本书中我们还会涉及一些比较深刻的嵌入定理．
~~~3.2 （有限）积空间
给定了两个拓扑空间，我们首先可以得到一个集合作为它们的笛卡儿积．如何按某种自然的方式给定这个笛卡儿积一个拓扑使之成为拓扑空间？
为此我们先对度量空间中的同类问题进行研究．首先回顾n维欧氏空间中Rn中的度量是如何通过实数空间中的度量来定义的：如果
x?(x1,x2,?,xn),y?(y1,y2,?,yn)?Rn
则x与y的距离定义为
?(x,y)??i?1nxi?yi2
其中xi?yi是R中的两个点xi和yi的通常距离．这种定义方式推广到有限个度量空间的笛卡儿积中去不会产生任何困难．
定义3.2.1设(X1,?1),(X2,?2),?(Xn,?n)是n(?1)个度量空间，令
X?X1?X2???Xn.
定义?:X?X?R使得对任意的x?(x1,x2,?,xn),y?(y1,y2,?,yn)?X，
?(x,y)???(x,y)iiii?1n2
容易验证?是X的一个度量．（请自行验证，注意验证中要用到2.1附录中的Schwarz引理．）我们称?为笛卡儿积X?X1?X2???Xn的积度量；称度量空间(X,?)为n个度量空间(X1,?1),(X2,?2),?(Xn,?n)的度量积空间．
根据上述定义明显可见，n维欧氏空间R就是n个实数空间R的度量积空间．
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