（关于c(A)?A的证明）
由于c(c(A))?c(A)，因此，故c(A)为闭集，由（2）知：c(A)?c(A)。c(A)?T ，A?c(A) 因此A?c(A)?c(A)。另外一方面，A?A?c(A)?c(A)?A，由此可得，c(A)?A. (由于A为闭集，故A的补集是开集，肯定属于T ，根据T 的定义可知c(A)?A.
在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画.
定义2.5.16设(X,d)是一个度量空间．X中的点x到X的非空子集A的距离?(x,A)定义为
'?(x,A)?inf??(x,y):y?A?
据下确界的性质以及邻域的定义易见：?(x,A)?0当且仅当对任意??0，存在y?A使得?(x,y)??，换言之即是：对于任意B(x,?)，有B(x,?)?A??，而这又等价于：对于x的任何一个邻域U，有U?A??，应用以上讨论立即得到： 定理2.5.17 设A是度量空间(X,d)中的一个非空的子集，则 （1）x?A当且仅当??x,A?{x}??0；
d（2）x?A当且仅当?(x,A)?0； （3）x?A当且仅当x?A?{x}；
引理2.5.18设A是拓扑空间（X，T ）中的一个非空子集，则
dx?Ad?x?A?{x}?x?(A?{x})d
定义2.5.19 设X是一个集合．映射d:2面四个条件：?A,B,C?2， ( l ）d(?)??；
( 2 ）?x?X,x?d({x})； ( 3 ）d(A?B)?d(A)?d(B)； ( 4 ）d(d(A))?d(A)?A.
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XX?2X被叫做一个导（集）算子，如果它满足下
定理2.5.20 设X是一个集合，d:2X?2X是集合X的一个导算子，则存在X的唯一一个
d拓扑T 使得在拓扑空间(X, T )中，对于每一个A?2X，有d(A)?A.
证明:首先证明X的子集族T =U?2:d(U)?U扑。
1.首先验证T 是X的一个拓扑.
?X''?便是满足定理要求的那个唯一的拓
(1)根据(1)我们知道d(X)?d(?)???X，因此X?T ．根据（2）我们知道d(X)?X，因此d(?)?d(X)?X??，于是??T ．
(2)设A,B?T ，则d(A)?A且d(B)?B，再由(3),
''''''''d((A?B)')?d(A'?B')?d(A')?d(B')?A'?B'?(A?B)'
因此，A?B?T . （3）设T
1?T ，即X的子集族T 1满足条件：对任意的A?T 1，有d(A')?A'.于是
d((?{A:A? T 1}）'）=d(?{A':A?T 1}）??{d(A'):A?T 1}
??{A':A?T 1}=(?{A:A?T 1}）'
因此，?{A:A?T 1}?T .
2.现在来证明?A?2,A?A?d(A)，由
Xd(A?d(A))?d(A)?d(d(A))?A?d(A)
可知A?d(A)是(X, T )中的闭集，于是A?A?d(A)?A?d(A)，而由A?A可知
d(A)?d(A)?A（性质3），从而A?d(A)?A，故A?A?d(A).
X3.设A?2，下面证明d(A)?A.
dx?Ad?x?A?{x}?d(A?{x})?(A?{x})?x?d(A?{x})?x?d(A)
注：A?(A?{x})?{x}
唯一性显然。
以下定理既为连续映射提供了等价的定义，也为验证映射的连续性提供了另外的手段．
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定理2.5.21 设X和Y 是两个拓扑空间，f:X?Y．则以下条件等价： ( 1 )f是一个连续映射； ( 2 )Y中的任何闭集B的原象f?1(B)是X中的闭集；
( 3 )对于X中的任何一个子集A, A的闭包的象包含于A的象的闭包，即f(A)?f(A)； ( 4 )对于Y中的任何一个子集B, B的闭包的原象包含B的原象的闭包，即f证明：(1)?(2)设B是Y的闭集．则B'是开集，因此根据（l ),f中的开集，因此f(f?1?1?1?1(B)?f?1(B)
(B')?(f?1(B))'是X
(B)是X中的闭集．
?1(B')?f?1(Y?B)?f(Y)?f?1(B)?X?f?1(B)?(f?1(B))')
由于f(A)?f(A)，所以我们有A?f(2)?(3)设A?X．的闭集，根据（2）, f?1?1(f(A)).因为f(A)是Y 中
(f(A))是X中的闭集．因此有A?f?1(f(A))从而：f(A)?f(A).
(3)?(4)设B?Y，对于集合f因此f?1?1(B)，应用（3）可得f(f?1(B))?f(f?1(B))?B，
(B)?f?1(B).
(4)?(1)设U是Y中的一个开集．则U'是Y中的闭集．对此集合应用（4）可见f?1(U')?f?1(U')．这说明f?1(U')是一个闭集，所以f?1(U)是开集．
（f?1(U')?f?1(Y?U)?f?1(Y)?f?1(U)?X?f?1(U)?(f?1(U))'）
2.6 内部、边界
在前一节中我们讨论了在拓扑空间中由一个给定集合如何引出一些与之密切相关的集合，如导集，闭包等．本节继续这个话题．
定义2.6.1 设X是一个拓扑空间．如果A是点x一个邻域，即存在开集V使得x?V?A，则称点x是集合A的一个内点，集合A的所有内点构成的集合称为集合A的内部，记作A.
''?X定理2.6.2 设X是拓扑空间，A?2．则(A)?(A)．因此(A)?A.
??'' 23
证明：设x?(A)，则x?A，于是存在x的一个邻域U，使得U?A??．从而x?U?A，
'?故x?(A)，这证明(A)?(A)．
'?''?''另一方面，若x?(A)，则存在x的一个邻域V，使得x?V?A，从而V?A??，故x?A，也即x?(A)，故(A)?(A).这就证明了(A)?(A).
以上只证明了定理中的第一个等式．要证明定理中的第二个等式，只需将第一个等式中的A换成A'，并将所得到的等式两边取补集即可．
关于内部的基本性质，我们有与闭包的性质完全对偶的一组定理，这些定理的证明过程都是将闭包的相应性质通过上面定理转化为内部的性质．
定理2.6.3 拓扑空间X的子集A是开集的充分必要条件是A?A. 定理2.6.4 设X是一个拓扑空间．则对于任意A,B?2，有 ( l ）X??X； ( 2 ) A?A；
( 3 ) (A?B)?A?B； ( 4 ) (A)?A.
定理2.6.5 拓扑空间X的任何一个子集A的内部A都是开集． 定理2.6.6 设(X, T )是一个拓扑空间，则对于X的每一个子集A，有
???????X'''?''?'??A???{B?T ：B?A}，即集合A 的内部等于包含于A 的所有开集之并．
与我们在前一节中处理闭包运算时的情形一样，求取一个集合的内部也可以理解为从拓扑空间X的幂集2到自身的一个映射，它将每一个A?2映射为A，也同样可以象定义闭包运算一样定义内部运算，并由内部运算导出拓扑和拓扑空间的概念。
定义2.6.7 设X是一个拓扑空间，A?X．x?X称为是集合A的一个边界点，如果在x
'的任何一个邻域U中既有A中的点又有A中的点，即既有U?A??，又有U?A??．集
'XX?合A的全体边界点构成的集合称为集合A的边界，记作?(A)．
闭包，内部，边界之间存在种种联系，我们列举一部分如下： 定理2.6.8 设X是一个拓扑空间，A?X．则
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A?A??(A)
A??A??(A) ?(A)?A?A'??(A')
练习
1、设X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c,d}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
2、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为
（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
3、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{b},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为
（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①
4、设X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③
5、设X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a},{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
6、设X?{拓扑T?{X,?,{a},{b},{a,b},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集a,b,c}，
的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：② 7、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（ ） ① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B ③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A 答案: ③
8、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B ③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A 答案: ①
9、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① d(A?B)?A?B ② A?B?A?B
③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ d(d(A))?A?d(A) 答案: ④ 10、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① d(A)?? ② d(A)?X?A ③ d(A)?A ④ d(A)?X 答案：①
11、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中不正确的是（ ）
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