高三数学第二轮专题复习系列(5)——平面向量
一、本章知识结构：
二、高考要求
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。 7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。 三、热点分析
对本章内容的考查主要分以下三类：
1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.
2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.
3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.
在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。
四、复习建议
由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是
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根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。 五、典型例题
平面向量
【例1】 在下列各命题中为真命题的是( ) ①若a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，则a·b=x1y1+x2y2
②若A(x1,y1)、B(x2,y2)，则｜AB｜=(x1?x2)2?(y1?y2)2 ③若a=(x1,y1)、b=(x2,y2),则a·b=0?x1x2+y1y2=0 ④若a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，则a⊥b?x1x2+y1y2=0 A、①② B、②③ C、③④ D、①④
解：根据向量数量积的坐标表示；若a=(x1,y1), b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2，对照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、
于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择(B)、
说明：对于命题(3)而言，由于a·故它是一个真命题、 b=0?a=0或b=0或a⊥b?x1x2+y1y2=0，而对于命题(4)来讲，a⊥b?x1x2+y1y2=0、但反过来，当x1x2+y1y2=0时，可以是x1=y1=0，即a=0，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2=0??a⊥b)，所以命题(4)是个假命题、
【例2】 已知a=(－3,－1), b=(1,
3)，那么a，b的夹角θ=( )
A、30° B、60° C、120° D、150° 解：a·(1，3)=－23 b=(－3,－1)·
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｜a｜=(?3)2?(?1)2=2，｜b｜=12?(3)2=2 ∴cosθ=a?ba?b=
3?23=? 2?22【例3】 已知a=(2,1), b=(－1,3),若存在向量c使得：a·c=4, b·c=－9，试求向量c的坐标、 解：设c=(x,y),则由a·c=4可得：2x+y=4；又由b·c=－9可得：－x+3y=－9
(1)?2x?y?4于是有：?
?x?3y?9(2)?由(1)+2(2)得7y=－14,∴y=－2,将它代入(1)可得：x=3 ∴c=(3,－2)、
说明：已知两向量a，b可以求出它们的数量积a·b，但是反过来，若已知向量a及数量积a·b，却不能确定b、
【例4】 求向量a=(1,2)在向量b=(2，－2)方向上的投影、 解：设向量a与b的夹角θ、 有cosθ=a?ba?b =
1?2?2?(?2)12?2222?(?2)2=－
10 10210)=－ 102∴a在b方向上的投影=｜a｜cosθ=5×(－
【例5】 已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高AD，求AD及点D的坐标、
解：设点D的坐标为(x,y) ∵AD是边BC上的高， ∴AD⊥BC，∴AD⊥BC 又∵C、B、D三点共线， ∴BC∥BD
又AD=(x－2,y－1), BC=(－6,－3)，BD=(x－3,y－2)
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∴???6(x?2)?3(y?1)?0
?6(y?2)?3(x?3)?0?解方程组，得x=∴点D的坐标为(
79,y= 557291，)，AD的坐标为(－，) 5555【例6】 设向量a、b满足：｜a｜＝｜b｜=1，且a+b=(1，0)，求a，b、 解：∵｜a｜＝｜b｜=1，
∴可设a=(cosα,sinα), b =(cosβ,sinβ)、 ∵a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0)，
?cosα?cosβ?1??(1) ?sinα?sinβ?0??(2)?由(1)得：cosα=1－cosβ……(3) 由(2)得：sinα=－sinβ……(4) ∴cosα=1－cosβ=∴sinα=±
1 233,sinβ=? 22???13??13????,?a??a??,????2?????22???2?或? ?????3????1?13??b??2,?2??b??2,2?????????【例7】 对于向量的集合A={v=(x,y)｜x2+y2≤1}中的任意两个向量v1、v2与两个 非负实数α、β；求证：向量αv1+βv2的大小不超过α+β、 证明：设v1=(x1,y1)，v2 =(x2,y2) 根据已知条件有：x21+y21≤1,x22+y22≤1
又因为｜αv1+βv2｜=(αx1?βx2)2(αy1?βy2)2 =α2(x12?y12)?β2(x22?y22)?2αβ(x1x2?y1y2)
22其中x1x2+y1y2≤x1?y1
22x2?y2≤1
所以｜αv1+βv2｜≤α2?β2?2αβ=｜α+β｜=α+β
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【例8】 已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=求证：AC⊥BC
1AB、 2证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1 则A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1)
????????∴BC=(－1,1), AC=(1,1) ????????BC·AC=－1×1+1×1=0
∴BC⊥AC、
【例9】 已知A(0，a),B(0,b),(0＜a＜b)，在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB最大，并求出最大值、 解，设C(x,0)(x＞0) 则CA=(－x,a), CB=(－x,b) 则CA·CB=x2+ab、 cos∠ACB=令t=x2+ab 故cos∠ACB=
?ab(a?b)2121?(a?b)??12ttCA?CBCA?CB=
x2?abx?a22x?b22
1
112ab当=即t=2ab时，cos∠ACB最大值为、 t2aba?b
当C的坐标为(ab,0)时，∠ACB最大值为arccos【例10】
2ab
、 a?b
如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的
一点，PECF是矩形，用向量法证明 (1)PA=EF (2)PA⊥EF
证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1， ｜OP｜=λ,则A(0，1)，P(∴PA=(－
2222λ，λ)，E(1，λ)，F(λ，0)
22222222λ,1－λ), EF=(λ－1,－ λ) 222222222
λ)+(1－λ)=λ－2λ+1
22(1)｜PA｜2=(－
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