故f(x)的值域为(－∞，－
1)∪［2，+∞). 2【例4】 在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若
b?c?2acos?60??C?，求角A．
解：由正弦定理，将已知等式中的边转化为角．可得
sinB?sinC?2sinA?cos?60??C?.
因为A?B?C?π，故有sin?A?C??sinC?sinAcosC?3sinAsinC， ∴ cosAsinC?sinC??3sinAsinC. 又∵ sinC?0, ∴ cosA?3sinA?1, π?1?即sin?A???，
6?2?由0?A??，可解得A?2π． 3【例5】 在△ABC中，已知y?2?cosCcos?A?B??cos2C.
（1）若任意交换A,B,C的位置，y的值是否会发生变化?试证明你的结论； （2）求y的最大值.
解：（1）∵ y?2?cosCcos?A?B??cos2C ?2?cos?A?B?cos?A?B??cos2C ?2??2?1?cos2A?cos2B??cos2C 212cos2A?1?2cos2B?1?cos2C 2???3?cos2A?cos2B?cos2C ?sin2A?sin2B?sin2C，
∴ 任意交换A,B,C的位置，y的值不会发生变化． （2）
解法1：将y看作是关于cosC的二次函数. y?2?cosCcos?A?B??cos2C
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11?????cosC?cos?A?B???cos2?A?B??2.
24??2所以，当cosC?值9． 41πcos?A?B?，且cos2?A?B?取到最大值1时，也即A?B?C?时，y取得最大23解法2：用调整的方法, 也即对于每个固定的C的值，去调整A,B，求出y取得最大值时A,B所满足的条件．
对于y?2?cosCcos?A?B??cos2C，如果固定C，则可将y看作是关于cos?A?B?的一次或常数函数．为了讨论其最大值，显然应该考虑cosC的符号，并由此展开讨论． 若cosC?0，则A?B?π，所以，cos?A?B??0，所以， 2y?A,B,C??2?cosCcos?A?B??cos2C?2?cos2C?2?cos2?π?C??2?cos?π?C??cos2?π?C??CC??2?cos?π?C?cos????cos2?π?C??22??CC??y?,,π?C??22?
所以，只需考虑cosC?0的情形．此时y是关于cos?A?B?的常数函数或单调递增的一次函数，因此，最大值必可在cos?A?B??1（即A?B?π?C）时取得．所以， 221?99?y?2?cosCcos?A?B??cosC?2?cosC?cosC???cosC????，
2?44?22等号当且仅当A?B?C?六、专题练习
π时取得． 3【平面向量练习】
一、选择题：
1、下列各式中正确的是（ C ）
（1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a· (λb), （2）|a·b|=|a|·|b|, （3）(a ·b)· c=a · (b ·c), （4）(a+b) · c= a·c+b·c A．（1）（3）
B．（2）（4） C．（1）（4） D．以上都不对.
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2、在ΔABC中,若(CA+CB)·(CA－CB)=0,则ΔABC为（ C ） A．正三角形
B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
3、若|a|=|b|=|a－b|,则b与a+b的夹角为（ A ）
A．30° B．60° C．150° D．120° 4、已知|a|=1,|b|=2 ,且(a－b)和a垂直,则a与b的夹角为（ D ） A．60° B．30° C．135° D．45° 5、若AB·BC + AB2= 0,则ΔABC为（ A ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
6、设|a|= 4,|b|= 3, 夹角为60°, 则|a+b|等于（ C ） A．37 B．13 C．37
D．13
7、己知|a|=1,|b|=2, a与b的夹角为600,c =3a+b, d =λa－b ,若c⊥d,则实数λ的值为（ C A．
47 B．
57 C．
74 D．
75 8、设 a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线,则（ D ）
①(ab)c－(ca)b=0 ②|a| －|b|< |a－b| ③(bc)a－(ca)b不与c垂直 ④(3a+2b)(3a－2b)= 9|a|2－4|b|2 其中真命题是 （ ） A．①② B．②③
C．③④
D．②④
二、填空题：
9、已知e是单位向量,求满足a∥e且a·e=－18的向量a=__________.－18e 10、设a=(m+1)i－3j, b=i+(m－1)j, (a+b) ⊥(a－b), 则m=________.－2 11、|a|=5, |b|=3,|a－b|=7,则a、b的夹角为__________. 120° 12、 a与d=b－a?(a?b)|a|2关系为________. a⊥b
三、解答题：
13、已知| a|=4,|b|=5,|a+b|=21 ,求：① a·b ；②(2a－b) ·(a+3b)
解：①|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2，
??a??b?|?a??b|2?|?a|2?|?b|22=21?16?252??10.
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）
②（2a－b）·（a+3b）=2a2+5a·b－3b2=2|a|2+5a·b－3|b|2 =2×42+5×（－10）－3×52=－93.
14、四边形ABCD中,AB= a, BC= b,CD= c, DA= d,且a·b=b·c=c·d=d ·a，判断四边形
ABCD是什么图形？
分析：在四边形ABCD中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件， 对a+b=－（c+d），两边平方后，用a·b=b·c=d·c代入， 从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状.
解：∵a+b+c+d=0，∴a+b=－（c+d），
∴（a+b）2=（c+d）2，即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2， ∵a·b=c·d，∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2??① 同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2??②
①，②两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2，即|b|=|d|，|a|=|c|. ∴ABCD为平行四边形.
又∵a·b=b·c，即b·（a－c）=0，而a=－c， ∵b·（2a）=0 ∴a⊥b，
∴四边形ABCD为矩形.
15、已知：|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60°,问当且仅当k为何值时,向量ka－b与 a+2b垂直？
解：?(ka?b)?(a?2b)
?(ka?b)?(a?2b)?0,即ka?(2k?1)ab?2b?0,?k?5?(2k?1)?5?4?cos60?2?4?0?k?14. 152222
【平面向量的综合应用练习】
一、选择题
1.设A、B、C、D四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为( ) A.正方形 C.菱形
B.矩形 D.平行四边形
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2.已知△ABC中，?AB=a，AC=b，a·b<0，S△ABC=A.30° 二、填空题
B.－150°
C.150°
15,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是( ) 4
D.30°或150°
3.将二次函数y=x2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y=2x－5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_________.
4.等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底边AB，它们所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,则CD=_________. 三、解答题
5.如图，在△ABC中，设AB=a，AC =b，AP =c,
AD=λa,(0<λ<1),AE =μb(0<μ<1),试用向量a，b表示c.
6.正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a. (1)建立适当的坐标系，并写出A、B、A1、C1的坐标； (2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
7.已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差数列.
(1)点P的轨迹是什么曲线？
(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为PM与PN的夹角，求tanθ.
8.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的?中点.? (1)用向量法证明E、F、G、H四点共面； (2)用向量法证明：BD∥平面EFGH；
(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM?1(OA?OB?OC?OD). 4第 20 页 共 26 页