(2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2). ∴BA1=(1,?1,2),CB1=(0，1，2) 2=3 BA1?CB1=1×0+(－1)×1+2×
|BA1|=(1?0)2?(0?1)2?(2?0)2?6
|CB1|?(0?0)2?(1?0)2?(2?0)2?5 ?cos?BA1,CB1??BA1?CB1|BC1|?|CB1|?36?5?30. 10(3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M(,,2)
112211C1M?(,,0),A1B?(?1,1,?2)
2211∴A1B?C1M?(?1)??1??(?2)?0?0,?A1B?C1M,
22∴A1B⊥C1M.
5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离. 【例8】 求平面内两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式 解：设点A(x1,y1),B(x2,y2) ，?AB?(x2?x1,y2?y1)
?|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2 ,而|AB|?|AB|
?点A与点B之间的距离为：|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2
6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题. 【例9】 证明:
cos(???)?cos?cos??sin?sin?
证明：在单位圆O上任取两点A,B，以Ox为始边，以
OA,OB为终边的角分别为?,?，则A点坐标为(cos?,sin?),B点坐标为(cos?,sin?)；
则向量OA?(cos?,sin?),OB?(cos?,sin?)，它们的夹角为???，
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|OA|?|OB|?1,OA?OB?cos?cos??sin?sin?,由向量夹角公式得：
cos(α?β)?OA?OB|OA||OB|?cos?cos??sin?sin?,从而得证.
注：用同样的方法可证明cos(???)?cos?cos??sin?sin? 7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题. 【例10】
证明柯西不等式(x1?y1)?(x2?y2)?(x1x2?y1y2)2
2222??证明：令a?(x1,y1),b?(x2,y2)
??????（1） 当a?0或b?0时，a?b?x1x2?y1y2?0，结论显然成立； ??????（2） 当a?0且b?0时，令?为a,b的夹角，则??[0,?]
?a?b?x1x2?y1y2?|a||b|cos?. 又?|cos?|?1
?????????? ?|a?b|?|a||b|（当且仅当a//b时等号成立）
|x1x2?y1y2|? ?22x1?y1?x2?y2
222222 ?(x1?y1)?(x2?y2)?(x1x2?y1y2)2.（当且仅当
x1x2时等号成立） ?y1y2【例11】
求y?sin2x?2sinxcosx?3cos2x的最值
解：原函数可变为y?2?sin2x?cos2x， 所以只须求y??sin2x?cos2x的最值即可， 构造a??sin2x,cos2x?,b??1,1?， 那么sin2x?cos2x?a?b?ab?故ymax?2?2,ymin?2?2. 【例12】
三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线
2.
AM的长；(2)∠CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值. 解：(1)点M的坐标为xM=
?1?17?299?0;yM??,?M(0,) 2222第 12 页 共 26 页
9?|AM|?(5?0)2?(?1?)2?2221. 2(2)|AB|?(5?1)2?(?1?7)2?10,|AC|?(5?1)2?(?1?2)2?5
D点分BC的比为2. ∴xD=
?1?2?117?2?211?,yD??
1?231?2311114|AD|?(5?)2?(?1?)2?2.
333(3)∠ABC是BA与BC的夹角，而BA=(6，8），BC=(2，－5）.
?cosABC?BA?BC|BA|?|BC|?6?2?(?8)?(?5)62?(?8)2?22?(?5)2?521029?2629 145解斜三角形
【例1】 已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B.解法一：由题设条件知B=60°，A+C=120°. 设α=
112A?C???，求cos的值. cosAcosCcosB2A?C，则A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α， 21111所以???cosAcosCcos(60???)cos(60???) 11cos?cos?????,1323221313cos??sin?cos??cos??sin?cos??sin?4442222cos?cos2??34??2, cosB依题设条件有
1cos??cosB?,???22.
2cos2??34整理得42cos2α+2cosα－32=0(M)
(2cosα－2)(22cosα+3)=0，∵22cosα+3≠0， ∴2cosα－2=0.从而得cos
A?C2?. 22解法二：由题设条件知B=60°，A+C=120°
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??211??22,????22
cos60?cosAcosC
①，把①式化为
cosA+cosC=－22cosAcosC ②，
利用和差化积及积化和差公式，②式可化为
A?CA?C ③， cos??2[cos(A?C)?cos(A?C)]
2211A?C将cos=cos60°=，cos(A+C)=－代入③式得：
222A?C2cos??2cos(A?C) ④
22A?CA?CA?C将cos(A－C)=2cos2()－1代入 ④：42cos2()+2cos－32=0，(*)，
222A?CA?C(2cos?22)(22cos?3)?0,22
A?CA?CA?C2?22cos?3?0,?2cos?2?0,从而得:cos?.22222cos【例2】 在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有 一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？ 解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB=3 (千米) 在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
3 (千米) 3?BC?AC2?AB2?(301??230(千米/时)36(2)∠DAC=90°－60°=30°
3230)?(3)2?33
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=
AB?BC3303?310 10sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°?310. 10第 14 页 共 26 页
313(33?1)10??1?(10)2? 221020在△ACD中，据正弦定理得
ADAC， ?sinDCAsinCDA3310?AC?sinDCA9?310∴AD? ?3?sinCDA13(33?1)10209?3答：此时船距岛A为千米.
13【例3】 已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域； (2)判断其单调性，并加以证明； (3)求这个函数的值域.
解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°
A?C11，f(x)=cosB(). ?2cosAcosCA?CA?Ccos1cosA?cosC22f(x)???2cosA?cosCcos(A?C)?cos(A?C)
x2x??2,14x?3??2x2?122cosA?CA?C1|＜60°，∴x=cos∈(，1]
2223331又4x2－3≠0，∴x≠，∴定义域为(，)∪(，1］.
2222∵0°≤|
(2)设x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)=
2x24x2?32?2x14x1?32
=
2(x1?x2)(4x1x2?3)(4x1?3)(4x22213，若x1，x2∈(,)，则4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，
22?3)∴f(x2)－f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(
3，1］，则4x12－3＞0. 24x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0.
313,)和(，1]上都是减函数.
22211(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2.
22即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(
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