｜EF｜2=(
2222λ－1)2+(－λ)=λ－2λ+1 22∴｜PA｜2=｜EF｜2,故PA=EF (2) PA·EF=(－
2222λ)(λ－1)+(1－λ)(－λ)=0 2222∴PA⊥EF ∴PA⊥EF、 【例11】 ①
??已知a?(1,0),b?(2,1).
??求|a?3b|；
?②当k为何实数时,ka?b与a?3b平行, 平行时它们是同向还是反向？
???????解：①a?3b= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴|a?3b|= 72?32=58.
??②ka?b= k(1,0)－(2,1)=(k－2,－1).
设ka?b=λ(a?3b),即(k－2,－1)= λ(7,3),
1?k????k?2?7λ?3∴? ?? .
1?1?3λ??λ???3?????故k= ?1时, 它们反向平行. 3【例12】
已知|a|?2,|b|?1,a与b的夹角为
????????π,若向量2a?kb与a?b垂直, 求k. 3解：a?b?|a||b|cos????π1=2×1×=1.
23????∵2a?kb与a?b垂直, ?????∴(2a?kb)?(a?b)= 0,
?2??2????∴2a?2a?b?kab?kb?0 ? k = － 5.
【例13】 如果△ABC的三边a、b、c满足b2 + c 2 = 5a2,BE、CF分别为AC边与AB上的中线, 求证：BE⊥CF. 解：
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????1????????????1????????BE?(BA?BC),CF?(CB?CA)22????????1?????????????????????2?????????BE?CF?(?BA?BC?AB?AC?BC?CB?CA)????4∴BE⊥
?2????2????21????2????2????2????21????2????2????211????[?(BA?BC?AC)?(AB?AC?BC)?BC?(CA?CB?BA)]4222?2????2????21221????(AB?AC?5BC)?(b?c?5a2)?0,88????CF, 即 BE⊥CF .
【例14】 垂直?
△ABC中，O为其内心，P为圆周上一点， 解：如图所示，在正
满足PA，PB，PC，PO两两不共线，有 (PA+PB)·(PC+PO)
=(PO+OA+PO+OB)·(PO+OC+PO) =(2PO+OA+OB)·(2PO+OC) =(2PO－OC)·(2PO+OC) =4PO2－OC2 =4PO2－OC2=0
有(PA+PB)与(PC+PO)垂直、
同理证其他情况、从而PA，PB，PC，PO满足题意、故存在这样4个平面向量、
是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和
平面向量的综合应用
1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题
【例1】 已知向量OP1,OP2,OP3满足条件OP1?OP2?OP3?0，OP1?OP2?OP3?1，求证：
?P1P2P3是正三角形
解：令O为坐标原点，可设P?1,sin?1?,P2?cos?2,sin?2?,P?3,sin?3? 1?cos3?cos第 7 页 共 26 页
由OP1?OP2??OP3，即?cosθ1,sinθ1???cosθ2,sinθ2????cosθ3?sinθ3?
?cosθ1?cosθ2??cosθ3①
?sinθ?sinθ??sinθ123?②
两式平方和为1?2cos?θ1?θ2??1?1，cos?θ1?θ2???0????????0由此可知?1??2的最小正角为120，即OP2的夹角为120， 1与OP????????0同理可得OP1与OP3的夹角为120，OP与OP3的夹角为120， 201， 2这说明P1,P2,P3三点均匀分部在一个单位圆上， 所以?P1P2P3为等腰三角形.
【例2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数 解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y 轴建立直角坐标系，设A?2a,0?,B?0,2a?，则
D?a,0?,C?0,a?，
从而可求：AC???2a,a?,BD??a,?2a?,
cosθ?AC?BDACBD??2a,a???a,?2a??4a2?=
5a?5a5a2??4. 5?4??θ?arccos???.
?5?2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题
1?BC?【例3】 已知?ABC，AD为中线，求证AD?AB2?AC2???
22??2??2证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴建立如图2直角坐标系， 设A?a,b?,C?c,0?，D?,0?，
2?c??2?c2?c?2?ac?a2?b2， 则AD???a???0?b??4?2?2第 8 页 共 26 页
??22??BC?1?2c2?c21?22222， ?AB?AC????.=?a?b??c?a??b???a?b?ac?2?2?4?4??2???2?BC?2222?11??BC???222从而AD??AB?AC????. ?，AD?AB?AC??222?2???????2??3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量
【例4】 已知点O是?ABC内的一点， ?AOB?150，?BOC?90，00设OA?a,OB?b,OC?c,且a?2,b?1,c?3,试用a,和b表示c.
解：以O为原点，OC，OB所在的直线为x轴和y轴建立如图3所示的坐标系. 由OA=2，?AOx?120，所以A2cos1200,2sin1200,即A-1，,3， 易求B?0，-1?，C?3,0?，设
0????????????????OA??1OB??2OC,即-1，3??1?0，-1???2?3,0?，????1?-3-1?3??2??，??1.?3?-?1??2?-?3???1?a??3b?c.
3【例5】 如图，
????????????????????????????00OA?OB?1,OA与OB的夹角为120，OC与OA的夹角为30,OC?5，
????????????用OA，OB表示OC.
解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则A?1,0?，
?535??， 由?COA?300，所以C5cos300,5sin300,即C??2，2??????13?? 同理可求B???2,2????????????????535??13?OC??1OA??2OB,即?，??1，0????2??22??1?-2,2??
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??531031λ??λ-λ??12?2?132，. ??353?5??λλ?22??23?2??OC?10353OA?OB. 334．利用向量的数量积解决两直线垂直问题
【例6】 如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面?ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证：C1C⊥BD. (2)当
CD的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明. CC1????????????????? (1)证明：设CD=a, CD=b,CC1=c,依题意，|a|=|b|，CD、CB、?CC1中两两所成夹角为θ，于
是BD?CD?DB=a－b，CC1?BD=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD. (2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只须证A1C⊥BD，A1C⊥DC1， 由CA1?C1D?(CA?AA1)?(CD?CC1)
=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得 当|a|=|c|时，A1C⊥DC1，同理可证当|a|=|c|时，A1C⊥BD， ∴CD=1时，A1C⊥平面C1BD. CC1【例7】 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中， CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点. (1)求BN的长；
(2)求cos
解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系O－xyz. 依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1) ∴|BN|=(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3.
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