参考答案
一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB=DC，∴AB∥DC，又线段AB与线段DC
无公共点，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四边形，又|AB|=5，AC =(5，3），|AC|=34，∴|AB|≠|AC},∴?ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC=(4，1）， ∴1·4+2·1=6≠0,∴AB不垂直于BC，∴ABCD也不是矩形，故选D. 答案：D 2.解析：∵15113·5sinα得sinα=,则α=30°或α=150°. ?·
242又∵a·b＜0,∴α=150°. 答案：C
二、3.(2,0) 4.13 cm
三、5.解：∵BP与BE共线，∴BP=mBE=m(AE－AB)=m(μb－a), ∴AP=AB+BP=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb
①
又CP与CD共线，∴CP=nCD=n(AD－AC)=n(λa－b), ∴AP=AC+CP=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b.
②
?1?m??a??n?m?1?0∵a与b不共线，∴? 即??m?1?nn??m?1?0??解方程组③得：m=
③
1??1??1,n?代入①式得c=(1－m)a+mμb=［λ(1－μ)a+μ(1－λ)b］. 1???1???1???6.解：(1)以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系. 由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,2a),C1(－
3aa,,222a).
3a,0,0）, 2(2)取A1B1的中点M，于是有M(0，,2a），连AM，MC1，有MC1=(－
且AB=(0，a,0）,AA1=(0,02a)
a2AB=0，MC1·由于MC1·面ABB1A1，∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧AA1=0，所以MC1⊥
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面ABB1A1所成的角. ∵AC1=(?3aaa,,2a),AM?(0,,2a), 222a29?AC1?AM?0??2a2?a
443212a232而|AC1|?a?a?2a?3a,|AM|??2a?a
444292a34?
323a?a2?cos?AC1,AM??所以AC1与AM所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
7.解：(1)设P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，PM =－MP=(－1－x,－y）,PN??NP =(1－x,－y),MN =－NM=(2,0),∴MP·MN=2(1+x), PM·PN=x2+y2－1,NM?NP =2(1－x).于是，
MP?MN,PM?PN,NM?NP是公差小于零的等差数列，等价于
1?22?x2?y?3x?y?1?[2(1?x)?2(1?x)]? 即? 2?x?0???2(1?x)?2(1?x)?0所以，点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点P的坐标为(x0,y0)
PM?PN?x0?y0?1?2,|PM|?|PN|?(1?x)2?y0?(1?x0)2?y0?(4?2x0)(4?2x0)?24?x0?cos??PM?PN|PM|?PN?14?x0222222
1??0?x0?3,??cos??1,0???,23?sin??1?cos2??1?1sin?2,?tan???3?x0?|y0| 2cos?4?x08.证明：(1）连结BG，则EG?EB?BG?EB?(BC?BD)?EB?BF?EH?EF?EH 由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，(其中
121BD=EH） 2第 22 页 共 26 页
(2）因为EH?AH?AE?1111AD?AB?(AD?AB)?BD. 2222所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD?面EFGH 所以BD∥平面EFGH.
(3）连OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG 由(2）知EH?11BD，同理FG?BD，所以EH?FG，EH22FG,所以EG、FH交于一点
M且被M平分，所以
OM?1111111(OE?OG)?OE?OG?[(OA?OB)]?[(OC?OD)]22222221?(OA?OB?OC?OD).4.
【解斜三角形练习】
一、选择题
1.给出四个命题：(1)若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC为正三角形.以上正确命题的个数是( ) A.1 二、填空题
B.2
C.3
D.4
ACAC?tan?3tantan的值为__________. 2222443.在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=－，sinB=，则
352.在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tancos2(B+C)=__________. 三、解答题
4.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积. 5.如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘 一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦
sin?成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k·2，
r其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的 高度h，才能使桌子边缘处最亮？
6.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2B?C7?cos2A?. 22第 23 页 共 26 页
(1)求角A的度数；
(2)若a=3，b+c=3，求b和c的值.
7.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又∠A－∠C=试求∠A、∠B、∠C的值.
8.在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD∶AB的值.
?2，
参考答案
一、1.解析：其中(3）(4）正确. 答案： B
二、2.解析：∵A+B+C=π，A+C=2B，
?A?C?2?A?CACAC,tan()?3,tan?tan?3(1?tantan)322222
ACAC故tan?tan?3tantan?3.2222答案：3
3.解析：∵A为最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°. ∵cos(2A+C)=－
43，∴sin(2A+C)=. 5543.故cosB=. 55∵C为最大角，∴B为锐角，又sinB=即sin(A+C)=
43，cos(A+C)=－. 5524， 25∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1=答案：
527. 625527 62511·AB·ADsinA+·BC·CD·sinC 22三、4.解：如图：连结BD，则有四边形ABCD的面积： S=S△ABD+S△CDB=
∵A+C=180°，∴sinA=sinC 故S=
11(AB·AD+BC·CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA 22第 24 页 共 26 页
由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2AB·AD·cosA=20－16cosA 在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC ∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，
1，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=83. 21cos??5.解：R=rcosθ，由此得：?,0???，
rR2sin?sin??cos2?kI?k?2?k??2?(sin??cos2?)2rRRkk2 2I2?(2)2?2sin2??(1?sin2?)(1?sin2?)?(2)2?()33RR∴64cosA=－32，cosA=－
由此得I?k232?3,等号在sin??时成立,此时h?Rtan??R32R29B?C76.解:(1)由4sin2?cos2A?及A?B?C?180?,得:2272[1?cos(B?C)]?2cos2A?1?,4(1?cosA)?4cos2A?521即4cos2A?4cosA?1?0,?cosA?,2?0??A?180?,?A?60? b2?c2?a2(2)由余弦定理得:cosA?2bc1b2?c2?a21?cosA????(b?c)2?a2?3bc.22bc2?b?c?3?b?1?b?2将a?3,b?c?3代入上式得:bc?2 由?得:?或?.bc?2c?2c?1???7.解：由a、b、3c成等比数列，得：b2=3ac
1)［cos(A+C)－cos(A－C)］ 23?∵B=π－(A+C).∴sin2(A+C)=－［cos(A+C)－cos］
2231即1－cos2(A+C)=－cos(A+C)，解得cos(A+C)=－.
222?7??∵0＜A+C＜π，∴A+C=π.又A－C=∴A=π，B=，C=.
3212312∴sin2B=3sinC·sinA=3(－
8.解：按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再设AB=a，AD=x，∴DP=x.在△ABC中， ∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，? 由正弦定理知：
asin?BPAB.∴BP= ?sin(120???)sinBAPsinAPB第 25 页 共 26 页
在△PBD中，
DPBPx?sin?asin?xsin2??,所以BP?,从而?,
sinDBPsinBDPsin60?sin(120???)sin60??x?asin??sin60?3a?.
sin2??sin(120???)2sin(60??2?)?3∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时， sin(60°+2θ)=1，此时x取得最小值
3a2?3?(23?3)a，即AD最小，
∴AD∶DB=23－3.
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