第一篇 高 等 数 学
第一章 函数 极限 连续
第一节 函 数
一、基本知识
1．函数的概念 （1）定义 设数集D?R，则称映射f:D?R为定义在D上的函数，通常简记为 y?f(x),x?D 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df,即Df?D． 函数定义中，对于每一个x?D．按照对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x)，即y?f(x)．因变量y与自变量x的这种依赖关系，通常称为函数关系．函数值f(x)的全体构成集合称为函数f的值域，记作Rf或f(D)，即
Rf?f(D)??yy?f(x),x?D?． （2）函数的常用表示法 ①公式法：如y?2x?1等， ②表格法：如三角函数表、对数表等， ③图示法：如温度记录仪记录的某地某天的温度曲线；医学上常用的心电图等． （3）分段函数 定义域内由两个或两个以上数学表达式分段表示的函数叫做分段函数． 函数关系y?f(x)不一定是由一个或几个数学表达式所构成，可能是由普通语言描述的，也可能是一幅图或一张表．总之，函数关系的实质是自变量与因变量之间的“对应关系”，而与表达形式无关，对于分段函数，无论它分多少段，它总是一个函数，不是几个函数．
两个函数相同?它们的对应关系相同、定义域相同．如y?lnx2与y?2lnx不相同． 2．函数的简单性质 （1）定义域
自变量的取值范围，每个函数都有其定义域，定义域不同，即使定义法则一样，两个函数也不是相等的．如一些基本初等函数，观察其定义域 根式y?x，分式y?1x，三角函数y?sinx，反三角函数y?arcsinx，指数函数y?ex，对
数函数y?lnx，幂函数y?xu，幂指函数y?xx???（注意：00无意义） （2）值域
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因变量的取值范围,它由函数定义域和定义法则同时决定． （3）有界性
设函数f(x)的定义域为D，数集X?D如果存在数K1，使得f(x)?K1对任一x?X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X的一个上界；如果存在数K2使得
f(x)?K2对任一x?X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2 称为函数f(x)在X上
的一个下界．即： K2?f(x)?K1 如果存在正数M，使得 f(x)?M 对任一x?X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；这就是说，如果对于任何正数M总存在x1?X，使f(x1)?M，那么就称函数f(x)在X上无界． ①有界性与区间I有关，如y?1x在?1,2?上有界，但在?0,1?上无界． ②若函数f(x)在I上有一个界M，则比M大的数都可以作为它的界，即界不唯一． ③在现阶段我们将会学到三个有界函数，在定义域是(??,??)情况下，分别是
y?sinx,y?cosx,y?arctanx． ④在极限计算中，当有界函数与其他函数相乘时，我们接触到的一般都是“有界函数乘无穷小等于零”． （4）单调性 设函数f(x)的定义域为D，区间I?D，如果对于区间I上任意两点x1,x2，当x1?x2，恒有 f(x1)?f(x2)， 则称f(x)在区间I上是单调增加；如果对于区间I上任意两点x1,x2，当x1?x2，恒有
f(x1)?f(x2)， 则称f(x)在I上是单调减少，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．（关于函数的单调性问题，将在“导数的应用”中讨论．） （5）奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于坐标原点对称．如果对任一x?D，f(?x)?f(x)恒成立，则
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称f(x)为偶函数；如果对任一x?D，f(?x)??f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数． 函数奇偶性判断方法：
① 根据奇偶性定义：如证得f(?x)?f(x)，那么此函数为偶函数，如证得f(?x)??f(x)，那么此函数为奇函数． ② 根据四则运算： 奇＋奇＝奇， 偶＋偶＝偶，奇＋偶＝非奇非偶． 奇?奇＝偶， 偶?偶＝偶， 奇?偶＝奇． ③ 指数运算用除法：xf(?x)?1,??f(x)??1偶奇， 举例：f(x)?2?12?1x 运用f(?x)f(x)??1,得f(x)为奇函数． ④ 对数运算用加法：f(x)?f(?x)???0,奇偶?2f(x)， 举例f(x)?ln(x2?1?x) 运用f(x)?f(?x)?0,得f(x)为奇函数． 注意： A 奇函数的图形关于原点对称；偶函数的图形关于y轴对称， B 奇、偶函数的运算性质：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的代数和是偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；奇函数与偶函数之积是奇函数， C函数奇偶性的判定依据：1．定义；2．常见的奇、偶函数及奇、偶函数的运算性质等．如y?x3,y?sinx,y?arctanx等是奇函数；而y?x2,y?cosx是偶函数．（特别要说的是，0是既奇又偶的函数） （6）周期性 设函数f(x)的定义域为D．如果存在一个正数，使得对于任一x?D有(x?l)?D，且
f(x?l)?f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数．l为f(x)的周期，通常我们说的周期函数的周
期是指最小正周期． 这里我们总结一个正弦函数的周期公式： y?A?Bsin(wx?l) A表示的是上下移动，B表示的是振幅，l表示的水平移动．，w与三角函数周期有关T?2?w．
一般的，对周期函数进行有限次的四则运算仍就是周期函数；公式中常量变成变量的均不是周期函数．
周期函数在每一个周期上的图形是相同的． 例如：y?1cosx2,y?sin2x,y?sinx?1,y?cos4x1x是周期函数． 不是周期函数．
y?sinx,y?xcosx,y?x?cosx,y?sin28
3．反函数
设函数f:D?f(D)是单射，则它存在映射f例如：y?2x与x?y?ax?1称此映射f:f(D)?D，
?1为函数f的反函数．
y2互为反函数；
与y?logax互为反函数．
4．基本初等函数
（l）幂函数 y?x?，（?为常数）
幂函数y?x?的定义域需要根据?的值来定．如y?x2在整个实轴R上有定义，而y?仅在?0,???上有定义．但无论?为什么数，在x?0上总是有定义的．
最常见的几个幂函数的图形如图1-1所示．
x
（2）指数函数 y?ax（常数a?0,a?1）
指数函数y?ax的定义域为R，值域为(0,??)．当0?a?1时，指数函数y?ax是单调减少的；当a?1时，指数函数y?ax是单调增加的．它的图形都经过点(0,1)．见图1-2．
（3）对数函数 y?logax（常数a?0,a?1）
对数函数y?logax是指数函数y?ax的反函数．它的定义域为(0,??)，值域为R．当
0?a?1时，y?log
ax是单调减少的；当a?1时，y?logax是单调增加的，它的图形都经过
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点(1,0)见图1-3．当底数为e?2.718281828459045...时，简记为y?lnx．即logex?lnx． （4）三角函数．
正弦函数 y?sinx，定义域为R．值域为??1,1?，它是奇函数，以2?为周期的周期函数．
图形见1-4．
余弦函数 y?cosx，定义域为R，值域为??1,1?，它是偶函数，以2?为周期的周期函数． 图形见图1-5． 正切函数y?tanx?sinxcosx，定义域为(k???2,k???2)(k?0,?1,?2,...)，值域为R．它是奇函数，以?为周期的周期函数．图形见图1-6． 余切函数y?cotx?cosxsinx，定义域为(k??1cosx1sinx?2,k?)(k?0,?1,?2,...)，它是奇函数，以?为周
期的周期函数．图形见图1-7． （数一二）正割函数y?secx?，定义域为(k???2,k???2)(k?0,?1,?2,...)．它是偶函数，以2?为周期的周期函数．图形（略）． （数一二）余割函数y?cscx?，定义域为(k?,k???)(k?0,?1,?2,...)．它是奇函数，以2?为周期的周期函数．图形（略） （5）（数一二）反三角函数
三角函数的反函数称为反三角函数．由于三角函数在定义域内不单调，所以它的反函数为多值函数，为避免多值性，特限制其值域，仍简称为反三角函数，图形见图1-8． 反正弦函数y?arcsinx，定义域??1,1?，值域???????2,2??，是单增函数，且是奇函数．
反余弦函数y?arccosx，定义域为??1,1?，值域为?0,??，是单减函数．
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