limcosx?1xsinx??limx?0xx222x?0??12;
（6） 解法1 用第一重要极限．
limtanx?sinxarcsinx33?sinx1?cosx?x??lim???23x?0?xcosxarcsinx??x?3?1?1sinx1?cosxx?? =lim????23?2x?0?cosxxxarcsinx??3x?0
这是因为lim1cosxx?0?1,limsinxxx?0?1,lim1?cosxx2x?0?12, limx3x?0arcsinx?1(令arcsinx?t即可）．
3 解法2 先对原式作恒等变形，再用等价无穷小替换，注意x?0时．arc3sinx~x3
?x2??x??2???xcosx3limtanx?sinxarc3x?0sinx?limsinx(1?cosx)cosxarc3x?0sinx?limx?0?12 上述两例足以看出适当地使用“等价无穷小替换”，可有效地简化计算，但必须正确使用，否则会出错．如对（6）的分子不作恒等变形而直接用等价无穷小替换（加减不可用无穷小替换）： limtanx?sinxarc3x?0sinx?lim0?0x?0是错误的． 例1．12求下列极限： （1）lim3?1xx； x?01??（2）lim?1??x??x??22x?x?a?； （3）lim??(a?0) x??x?a??x2xsinx?01x（4） limx1?x； （5）limx?1sinx； （6）limx?sinxx． x??解 （1）lim3?1xxx?0?lim2xexln3?1x?0x?limxln3x?2x?0lnx?ln3（这里利用了x?0时，e?1~xln3）;
（2）lim?1?x????1??x??x??1???lim??1???x??x???????e?2; （3）括号内分子、分母同除以x，再用第二重要极限：
?a???1?x?1???x?a??x?lim??lim??lim?x??x?ax???x??a?????1???1?x???xa??x?a??x?xx?eea?a?e2a;
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（4）本题是“1?”型，应用第二重要极限：
22limx1?x?limlimx?1x?1?1?(x?1)?1?x?x?1??1?(x?1)?1x?1??2?e?2;
（5）注意到sin10x?1，而x?时，x是无穷小，因此有
x2sin1limxsinx?lim?x?0?x?xsin1?x?0?sinxx??1?0?0; ?（6）因为lim1x?0，sinx?1，即limsinxx??x??x?0, ? limx?sinx?lim??1?sinx?x??x??1?0?1． x???x?例1．13 解答下列问题： （1）设f(x)???x2?1x?2?2x?1x?2 求limx?2f(x) ?tankx（2）设f(x)???x?0 问当常数k为何值时，lim?0f(x)存在？ ?xx?x?2x?01（3）讨论lim2x的存在性； （4）讨论x?1x?0lim?1x?1的存在性． x（5）已知当x?0时，1?ax2?1~sin2x，求常数a的值． （6）已知limx2?ax?bx，求常数a,b的值． x?1?1??5解 （1）因为limf(x)=lim(2x?1)?5，limf(x)=lim(x2?1)?5?2? x?2?x?2?x?2?x所以limf(x)x?2?5; （2）由于limf(x)=lim(x?2)?2，lim?f(x)=limtankxx?0?x?0x?0?x?0?x?k 故k?2时，limf(x)?2存在;
x?0111 （3） limx?2x?0，而lim?2???，所以lim2x0不存在．
x?0x?0x?1 本题的极限不存在，且x?0时2x也不是无穷大;
47
（4）limx?1x?1?x?1?lim?x?11?xx?1??1，lim?x?1x?1x?1?lim?x?1x?1x?1?1，因此limx?1x?1不存在（本结论
x?1也可从几何直观上得到）;
（5）由题意得到：lim1?axsin221?axsin22?1x?0x?1，
而lim?1x?0x?limax222x?0??1)2a2，所以a?2． x(1?ax（6）?limx2?ax?bx?1x?1??5，?limxx?1?ax?b?0，即1?a?b?0或b??a?1代入原式，于是有 limx?ax?a?1x?12x?1??5或lim(x?1)(x?1?a)x?1x?1??5b?6．或2?a??5 所以a??7，
三、练习题 （一）回答题 1．收敛数列必有界，而有界数列是否一定收敛？ 2．无界数列必发散，而发散数列是否一定无界？ 3．单调有界数列必收敛，而收敛数列是否一定单调有界？ 4．如果数列{xn}收敛，{yn}发散，则{xn?yn}一定发散吗？ 5．如果数列{xn}与{yn}都发散，则{xn?yn}一定发散吗？ 6．limxn?a，则limxn?a？ n??n??7．若limxn?a，则limxn?a？ n??n??8．有限多个无穷小之和为无穷小，而无穷多个无穷小之和是否一定为无穷小？ 9．已知limf(x)?a，则limf(n)?a？ x???n???10．由数列{xn}去掉（或增加）前有限项得到{bn}，则它们的敛散性是否相同？ （二）填空（或单项选择填空）题 211．已知limxn?a，则limxn?1?_________ 12．limn???x?cosxx?sinxn???x????_________ 13．lim(?1)nnsin?_________ 14．limx?01x?_________
n???1x15．lim(x?1a1?x2?xx?1)?32,则a?_________ 16．limxx?_________
x?017．下列极限不正确的是（ ）
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1111(A)limex?01x?0
(B)lim?ex?0 (C)limex? (D)lim?ex???x??
x?0x?018．当x?0时，下列函数与x2是等价无穷小的是（ ）
(A)sin2x
(B)arcta2nx (C)1?cosx (D)ln(2?x2)
19．“f(x)在x0处有定义”是“当x?x0时，f(x)的极限存在”的（ ）条件． (A)必要不充分 (B)充分不必要 (C)充分必要 (D)既不充分也不必要 220．limsin(x?1) ） x?1x?1?（(A)1 (B)0 (C)2 (D)12 （三）解答题 21．求下列极限 11n?11?（1）lim2n?3 （2）lim2?4?...?12nn??2n?3n； n??1?111； 5?25?...?5n（3）lim1)n??(1?3?13?5?...?1(2n?1)?(2n?1)； （4）lim1?3?5?...?(2n?1)n2?1； n??2n（5） lim??n?1??； （6）lim3nsinx； n???n?1?n??3n（7） lim?n2n??24282...22?； （8） lim(n?5n?n)． n??22．求下列极限 3x2（1）limsinxx??1?x2； （2）limsin8xtan5x； x?0n（3）limx?1sinxx?1（其中n为正整数）； （4）limx?1x????x； x（5）lim??2x?2??； （6）limx2?x?x2?xx?； x???2x?1????（7）limxxx?01?2x； （8）limx?0cosx．
23．解答下列问题
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?1?2x?1（1）设f(x)??x??tanxx?0x?0 讨论limf(x)．
x?0（2）当x?0时，下列函数中哪些是比x较高阶的无穷小？哪些是x同阶的无穷小？哪些是无穷大？
①tanx2 ②cosx?1 ③ln(1?2x) ④x2sin1xsin1x1x ⑤cotx ⑥
?x2?2???ax?b?（3） 若lim???0，求常数a、b的值． x??x?1??
四、真题演练 1例1 lim2x?（ ）（2001）． x?0A 0 B ?? C ? D 不存在 解 D 因为limx?01??1?x?0,lim?x?011x??? 1?所以lim2x?0,lim2x??? 故lim2x不存在．应选D． x?0x?0x?0例2 设limx2?ax?bx?1x?1?3，则a,b分别为（ ）（2002）． A 1，1 B ?1，?2 C ?2，1 D 1，?2 解 D 将D的结果代入极限式左端得 limx?1?x?2x?12x?1?lim(x?1)(x?2)x?1x?1?lim(x?2)?3 x?1故选D． 例3 ?x?2?lim??x????x?1?2x?（ ）（2003）． A e?6 B ? C 1 D e3 x2x解 A 解
?x?2?lim??x????x?1?3x?23x?2?lim?2??2?1???x??1???1??x?????4?x??2x?e?42e?e?6．
例4 lim(x??)2x?（ ）（200601）．
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