8．如果f(x)在x0处连续，则f(x)在x0处是否必连续？ （二）填空（或单项选择填空）题
9．“f(x)在x0处有定义”是“f(x)在x0处连续”的( )条件．
(A)必要不充分 (B)充分不必要 (C)充分必要 (D)既不充分也不必要 10．“f(x)在x0处连续”是“f(x)在x0处有极限”的( )条件．
（A)必要不充分 (B)充分不必要 (C)充分必要 (D)既不充分也不必要 11．已知f(x)在(??,?)内有定义（??0)，且limx?0x?0f(x)xx?0?2,f(0)?0，则( ) (A) limf(x)不存在 (B) limf(x)存在但不为零 (C)在x?0处f(x)不一定连续 (D)在x?0处f(x)连续 1?x?f(x)??(1?x)?k?12．x?0x?0，在x?0点连续，则k?______． 13．设f(x)茌x0点连续，且limf(x)?e，则f(x0)?______． x?x0?14．函数f(x)?9?x2?(x2?4)15．（数一）函数f(x)??12的连续区间是_______________ x?1(x?1)(x?2)1x2x(x?1)?的第二类间断点有______个． 16．（数一）x?0是函数f(x)?xcos（三）解答题 ?x?17．讨论函数y??x,?1,?x?0x?0x?0的第_____类间断点． 在x?0处的连续性． ?1?cosx,2?sinx?1?,18．讨论函数y??2?2?x?1,?2??tanx,?x?f(x)??1?a,1?xsin?b,?x?x?0 的连续性． x?0x?0x?0 x?01x?119．设函数 在x?0处连续，求a,b的值．
20．（数一）求函数f(x)?xarctan56
的间断点，并指出其类型．
21．（数一）证明方程x5x?1至少有一个小于的正根．
2122．（数一）设函数y?f(x)在?0,1?上连续，且0?f(x)?1．证明方程x?f(x)在?0,1?上至少有一个根．
四、真题演练 例1 设??x??1f(x)??x??(1?2x)x?0x?01 在x=0处连续，则?的值为（ ）（200901）．
A e B e2 C e?2 D 1
解 C 评注：本题考察的是函数的连续性及两个重要极限． 2例2 f(x)在??1,1?内有定义，且limx?0f?x?xx?0?2,f?0??0，则（ ）（2001）． x?0A limf?x?不存在 B limf?x?存在，但不等于零 C f(x)在x?0不连续 D f(x) 在x?0连续 解 D 法1 由limx?0f(x)?x??2知，当x?0时，f(x)与x是同阶无穷小，故有limf(x)?0
x?0?又有f(x)?0知，有limf(x)?(0)，故f(x)在x?0处连续，从而选D x?0 法2 因为2?limf(x)?x?0x?lim?x?0f(x)?f(0)x?f(0)'． 所以f(x)在x?0处可导，从而f(x)在x?0处连续，故选D． 例3 设f?x?在点x0处不连续，则（ ）（2003）． A f??x0?必存在 B limf?x?必存在 C f??x0?必不存在 D limf?x?必不存x?x0x?x0在
解 C A不对．因为f?(x0)存在，f(x)在点x0必连续． B 不对．因为不连续也可能是因为左或右极限不存在，或存在但不相等引起来的，而此时极限不存在， D不对．因为不连续可能是因为极限不等于函数值引起的． C对．因为不连续一定不可导． 例4 设f(x)?1?1?xx,试定义f(x)在x?0处的值，使f(x)在x?0处连续，则
． f(0)=________（200401）解 ?
12 limf(x)?limx?01?1?xxx?0?lim?xx(1?1?x)x?0?lim?11?1?xx?0??12
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由f(x)在x?0处连续当且仅当limf(x)?f(0)
x?0 可定义f(0)??
21例5 设函数
?1?f() x?0f?x?在区间(??,?)内有定义，并且limf(x)?a，令g(x)??xx????0 x?0那么
（ ）（200502）． A 点x=0是g(x)的左连续点 B 点x=0是g(x)）的右连续点 C 点x=0是g(x)的连续点 D g(x)在点x=0是否连续，与a的值有关 解 D 解 因为limg(x)?limf()?limf(t)a x?0x?01xt?? 由g(x)在x?0连续当且仅当limg(x)?g(0)知，需且仅需a?0，所以选D． x?01?x?1?2x）f(x)（??? a 例6 设函数x?0 x?0 在(??,??)上连续，则a=（ ）（200703）．
A e2 B e?2 C e D ?2
1解 B 根据函数连续的定义：limf(x)?f(0)，即lim(1?2x)x?e?2?a，所以选B． x?0x?0
第一章练习题答案 l 1．（1）相同；（2）不同；（3）不同；（4）不同；（5）不同；（6）相同． 2．（1）奇；（2）偶；（3）偶；（4）奇；（5）非奇非偶；（6）奇． 3．（1）是，2?；（2）是，?；（3）不是；（4）是，?． 4．（1）y?sinu,u?2x； （2）y?u2,u?sinx； （3）y?u,u?lnv,v?1?x2; （4）y?3u,u??sinx． 5．x?1； 6．??2,2?； 7．
?sinx?f(?x)??x2??x?1x?0x?0
? 8．是，是； 9．C． 10．（1）x?3且x??1； （2）x?k??（3）0?x?1； （4）R． 11．（略）；12．?1?x?3；
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,k?0,?1,?2,...；
2x(20?x)13．S(x)? 0?x?20；
3
14．S(x)?x4?x2,0?x?2．
2 1．否； 2．否； 3．否； 4．是； 5．否； 6．是； 7．否； 8．否； 9．是；
10．是． 11． a2 ; 12．1; 13．0, 14．0; 15．2； 16．0; 17．A; 18．B 19．D； 20．C 21．（1）3; （2） 85; （3） 1/2, （4）l; （5） e?4; （6）x； （7）2; （8）
52． 122．（1）0; （2） 85; （3） n； （4）l; （5） e2; （6）l; （7）e?2; （8）1． 23．（1）不存在； （2）高阶①②④，同阶③，无穷大⑤⑥； （3） a?b?1． 3 1．是； 2．否； 3．否； 4．否； 5．否； 6．否； 7．否； 8．是． 9．A： 10．B; 11．D: 12．1e 13． e; 14． ??3.?2???2,3,?; 15．1; 16．---
17．不连续；18．在R上连续；19．a?0,b?1；20． x?1．第一类； 21．（略）； 22．提示：令F(x)?x?f(x)．
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