8A e3 B e?2 C e?3 D e?4 解 A
4解一：lim(x??3x?23x?2(1?)2x23x23x))2x?limx???2x?22x?3)??(1?3x??3?2?2x?)?(1??3x???4334?e3e?438?e3
(1?8二：lim(x??3x?23x?2)2x?lim(1?x??43x?2)2x?4?lim?(1?)x??3x?2?13x?248?3?(1?)??e33x?2?412 所以选A，本题主要考察重要极限lim(1?x)x的一些变化形式． x??例5 下列等式不正确的是 ( )（200702）． A limsinxx1sinxx?0?1 ?0 B limsinxxx???01x ?0C limxx?0 D limxsinx?? 解 D 因为limxsinx?01xsin?limx??1x?1，所以选D（重点考察第一个重要极限 关键在于看趋1x向灵活应用）． 例6 下列函数中，当x?0是，与ex?1等价的无穷小量是（ ）（200901）． A xsinx B 3x C sinx D 222x33 解 A 评注：本题考察的是当x?0时，ex2?1与函数xsinx的比值的极限为1． 2 第三节 函数的连续性 一、基本知识
1．函数的连续性概念 （1）定义
设函数y?f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果
?x?0lim?y?lim?x?0?f(x0??x)?f(x0)??0
那么就称函数y?f(x)在点x0连续．
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为了应用方便起见，下面把函数y?f(x)在点x0连续的定义用不同的方法来叙述
①设函数y?f(x)在x0的某邻域内有定义，如果limf(x)?f?x0?，则称y?f(x)在x0处
x?x0连续．
②设函数y?f(x)在x0及x0的左侧有定义，如果limf(x)?f?x0?，则称y?f(x)在x0处
x?x0?左连续．
③设函数y?f(x)在x0及x0的右侧有定义，如果limf(x)?f?x0?，则称y?f(x)在x0处
x?x0\\?右连续．
④若函数y?f(x)在区间I上每点都连续，则称y?f(x)在区间I上连续． 约定：函数在区间端点处的连续性，左端点只要求右连续，右端点只要求左连续． ⑤若函数f(x)在x0处不连续，则称f(x)在x0处间断． （2）函数f(x)在x0处连续与它在该点的左右连续性的关系；f(x)在x0处连续的充分必要条件是它在该点既左连续又右连续． （3）间断点的分类
??右极限 lim?f(x) ?lim?f(x)?跳跃型：左极限?x?x0x?x0?第一类：? ??可去型：极限值?函数值 limf(x)?fx??x?x0? ???无穷型第二类：非第一类 （特点是：极限不存在） ??震荡型??
2．初等函数的连续性
（1）基本初等函数在定义域内连续．
（2）在区间I上连续的函数的和、差、积、商（分母不为零），在I上连续． （3）由连续函数经过有限次复合而成的复合函数在定义区间上连续． （4）在区间I上连续且单调的反函数在对应的定义区间上连续． （5）初等函数在定义区间上连续．
（6）若y?f(u)在u0处连续，且lim?(x)?u0，则
x?x0 limf??(x)??f?lim?(x)??f(u0)
x?x0??x?x0??
3．（数一二） 闭区间上连续函数的性质
（1）最大值 最小值定理： 在闭区间上连续的函数在该区间上必取得最大值和最小值． （2）有界性定理： 闭区间上连续的函数必在该区间上有界．
（3）零点存在定理： 在闭区间上连续的函数，且两端点的函数值异号，则它在该区间内至少有一个零点．
推论： 在闭区间上连续的单调函数，且两端点的函数值异号，则它在该区间内有唯一的一个零点．
（4）介值定理： 在闭区间上连续的函数必取得介于两端点的函数值之间的任何值．
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推论： 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值．
二、例题分析
（一）函数的连续性的讨论
?sinx?x?0例1．14 当常数a,b取何值时，函数f(x)??x?a?1x?0在R上连续．
??x2?bx?0?解 因为在x?0上f(x)?sinxx连续，在x?0上f(x)?x2?b连续， 所以只要，f(x)在x?0处也连续即可． 因 limf(x)?limsinxf(x)?lim2?b)?b，且f(0)?a?1 x?0?x?0?x?1,limx?0??(xx?0由f(x)在x?0处连续知，必有b?1?a?1即a?2, b?1 例1．15 讨论函数f(x)?x(1?x?1)的连续性． ?x(2?x)x?1解?f(x)???1x?1，显然f(x)在x?1或x?1时是连续的． ??x2x?1又f(1?)?f(1?)?1?f(1)，所以f(x)在R上连续． 43例1．16 求函数f(x)?x?3x?2x?1x2?5x?6的连续区间． 解 函数f(x)为初等函数，仅在没定义的点处间断，即在分母为零的点处间断． 由x2?5x?6?(x?2)(x?3)?0得到x?2和x?3， 所以f(x)的连续区间为???,2?,?2,3?,?3,???． 2例1．17设f(x)?x?1x?1?xsin1x?lgx?2，求f(x)的间断点并指出其类别． 解 因为f(x)分别在区间（???,?2?,??2,0?,?0,1?,?1,???内是初等函数， 因此是连续的，而分别在x??2,0,1处无定义，故在这三点处间断， 又?xlim??2f(x)??，所以x??2是第二类间断点（无穷间断点）；
?limf(x)??1?lg2，所以x?0x?0是第一类间断点（可去间断点）；
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?limf(x)??2?sin1?lg3?limf(x)?2?sin1?lg3,
x?1?x?1? 所以x?1是第一类间断点（跳跃间断点）． 例1．18 求f(x)?tanxx?sin1x?1的间断点，并指出其类型．
时是间断的，而limf(x)?1?sin1，因此
x?0解 函数y?f(x)当x?0,1,k??x?0是
?2(k?0,?1,?2,...)第一类问断点（可去间断点）；limf(x)不存在，因此x?1是第二类间断点（振荡间断点）；
x?1limx?k???2f(x)??(k?0,?1,?2,...)故这些是第二类间断点（无穷间断点）． （二）（数一二）闭区间上连续函数的性质的简单应用 例1．19 证明方程x6?3x2?2x?1至少有一个正根． 介析 要证明上述方程至少有一个正根，需作一个辅助函数，并证明它在某个正的区间上连续且在两端点上的函数值异号． 证 令f(x)?x6?3x2?2x?1，则f(0)??1?0,f(2)?26?12?4?1?55?0，又f(x)在
?0,2?上连续．由零点存在定理知，至少有一点??(0,2)使得x?3x?2x?1至少有一个正根． 62f(?)?0．即方程
例1．20 证明方程x?asinx?b（其中a?0,b?0），在?0,a?b?上至少有一个根． 证 令f(x)?x?asinx?b，f(x)显然在?0,a?b?上连续，且 f(0)??b?0,f(a?b)?a?1?sina(?b)??0 当f(a?b)?0时，x?a?b就是满足题意的一个根； 当f(a?b)?0时，f(0)f(a?b)?0，由零点存在定理知，至少有一点??(0,a?b)，使得
f(?)?0．即原方程在(0,a?b)内至少有一个根． 综上所述，x?asinx?b在?0,a?b?上至少有一个根． 1?xsinx?0?x?f(x)??0x?02?1tanxx?0?x?例1．21 ，则f(x)在x?0处（ ）
A、极限不存在 B、极限存在但不连续 C、连续且不可导 D、可导
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解 f(0?)?f(0?)?0，所以该函数是连续的，所以函数在其定义域内是连续的，
而f(0?),f(0?)左导数和右导数都存在，但是左导不等于右导． 例1．22 f(x)在(??,??)内连续，且f(x)?3?2xxx(x?0)那么f(0)?_____
解 因为f(x)在(??,??)内连续，所以在x?0处也是连续的，所以我们通过求极限的方式求得f(0): f(0)?limx3?2x?lim?limxxx?0?lim2x3?1?2x?limeln3xxx?1?1eln2xx?0?lim?lim3?1xxln3x?1xx?0x?0x?0x?lim?1x?0x32 xln2xx?0x?0?limln3?limln2?lnx?0x?0例1．23 下列极限不存在的是（ ）． A、lim(1?)?x B、limx?01xsinxxx?0 C、limcosx??1x D、lim1xx?0 解 选D．A,B,C三项均正确，极限存在是指左右极限存在，且相等． 例1．24 当x?0,下列函数哪一个是x的三阶无穷小（ ）． A、x3(ex?1) B、1?cosx C、sinx?tanx D、ln(1?x) 解 根据无穷小替换公式，第一个是ex?1~x，所以是x3(ex?1)~x4；第二个可直接替换为
1?cosx~12x2；第四个ln(1?x)~x．
三、练习题 （一）回答题 1．如果f(x)在x0处连续，g(x)在x0处间断，则f(x)?g(x)在x0处必间断？ 2．如果f(x)在x0处连续，g(x)在x0处间断，则f(x)g(x)在x0处必间断？ 3．如果f(x)和g(x)在x0处都间断，则f(x)?g(x)在x0处必间断？ 4．分段函数是否必有间断点？
5．闭区间上的连续函数一定有界，闭区间上不连续的函数是否一定无界？ 6．在开区间上连续的函数是否一定不能在该区间内取得最大值、最小值？ 7．如果f(x)在x0处连续，则f(x)在x0处是否必连续？
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