(4)无穷小的比较
设函数?(x)和?(x)，当x?x0时都是无穷小： ①若lim?(x)?(x)x?x0则称当x?x0时，记作?(x)?o(?(x)) ?0，?(x)是比?(x)较高阶的无穷小，
(此时也称?(x)是比?(x)较低阶的无穷小）； ②若lim?(x)?(x)?k(k?0)，则称当x?x0时，?(x)和?(x)是同阶无穷小； x?x0 特别，若lim?(x)?(x)x?x0 ?1，则称x?x0时，?(x)和?(x)是等价无穷小，记作?(x)～?(x)．
（5）等价无穷小替换 设x?x0时，?(x)与?(x)是等价无穷小，则lim?(x)g(x)?lim?(x)g(x)； x?x0x?x0（当x?x0时，?(x)?0）limh(x)x?x0?(x)g(x)?limh(x)x?x0?(x)g(x) 以上两式中的等号“=”应理解为：①等号“=”两边的极限同时存在或同时不存在；②若两边的极限存在则必相等． （6）常见的等价无穷小（在x?0时） x～sinx x～tanx x～arcsinx x～arctanx x～ln(1?x) x～e?1 xx22～1?cosx n1?x?1～xn 无穷下替换的条件①无穷小替换等价模型，②替换零位③整体为无穷小④加减不可用，乘除可用． x?0,sin2x?2xx??,sinx1x?1x22； x?1,sinx(?1)?x?1； ； x?0,31?x2?13x2． 6．极限的运算法则（对数列的极限也成立，不再单独叙述） 设limf(x)?A,limg(x)?B，则有 x?x0x?x0（1）limk?k（k为常数）；lim(kf(x))?kA（k为常数）； x?x0x?x0（2）lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)?A?B
x?x0x?x0x?x0（3）limf(x)g(x)?limf(x)limg(x)?A?B
x?x0x?x0x?x0
（4）lim
f(x)g(x)x?x0?x?x0limf(x)limg(x)?AB(B?0)
x?x041
注意：函数的和差积商在极限运算中，若拆分，必须保证拆分后各自极限必须存在，否则不可拆分．比如：
有界函数乘以无穷小=无穷小 lim可以拆分．
7．两个重要极限 （1）limsinxx1xx?01xx??sinx?0，但是拆分后，因为limsinx不存在所以不
x???1 （第一重要极限）
1（2）lim(1?x?0)x?e，lim(1?x)x?e，特别地lim(1?)n?e （第二重要极限） x??n?01n1 例：lim(1?2x)3x，会有多种方法求极限，以下列出三种： x??22??3t①换元法，令2x?t,x?，所以原式化为?lim(1?t)??e3 t?02??t122??3②凑形式，?lim(1?2x)2x??e3; x?0??1 13x③零位乘无穷，在该极限题中，2x所在的位置为零位，1?所在的位置为无穷大，
?elim零位?无穷x?0．
8．高次幂 在下列一般形式的特例中a0?0,b0?0，m和n为非负整数时，有 ?a0?b,?0??0,??,??n?mn?mn?mlima0xmn?a1xm?1n?1?a2x?b0xm?2n?2?...?am?...?bnn??b0x?b1x 例1 lim3x?4x?27x?5x?332323??limn??4x5x??233x?，（n?m） 37n??7?x3分子中变化最快的因子是3x；分母中变化最快的因子是7x．lim333x?4x?27x?5x?33232n???lim3x7x33n???37
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2例2 lim3x?2x?10n??2x3?x2?5?2?0，n?m
2分子中变化最快的因子是3x2；分母中变化最快的因子是2x3．lim3x
n??2x3?032例3 lim3x?x?53x2?2x?1??，n?m
x??3分子中变化最快的因子是3x3；分母中变化最快的因子是3x2．lim3xx??3x2?? 5例 4 limn?4n?63??n??n2?7n?5 5分子中变化最快的因子是n5；分母中变化最快的因子是3n2．limnx??3n2??
二、例题分析 例1．10 求下列极限： 2（1）lim4n?n?12n2?n?4； n??3n2?5n?2 ； （2）lim2n4?n??n3?2n?1（3） lim2nn??；（4）lim(n?1?n)； n2?1?4n2 ?2n?1n??（5）lim(n(n?1)?n)； 1)n??（6）limn??(1?2?12?3?...?1n?(n?1)； （7）lim(1nn??n2?2n2?3n2?...?n2)； （8）limn!n??nn； n?1（8）lim?n?n?2?； （9）lim?n?2?n???n??n????n?1??． 解 （1）对原式的分子、分母同除以n2，并注意到lim1na?0(a?0)n??，故有 14n2?n?14?1n?n2nlim??3n2?5n?2?limn??5?4． 3?n?23n21n?23?1（2）考虑极限limn?2n?1n3n4n??2n4?2n2?n?4?limn??21?0．
2?n2?n3?4n4 43
所以，利用无穷小与无穷大的关系可知，原式??． （3）对原式的分子、分母同除以n可得： lim2nn2x??2?lim?2n?121?1n2?1?4nx???4?2n?1n221?2?23．
?（4）因为当n??时，n?1?n为“???”未定型，可对原式乘以n?1?n?1?nn，再除以
，进一步确定其极限． lim(n?1?n)?lim1n?1?n?0． n??n??（5）本题的数列当n??时，n(n?1)?n仍为“???”待定型．先提出n后，再按上题方法可得： lim(n(n?1)?n)?limn??n??n(n?1?n)?limnn?1?nn???12． （6）本题是一个无穷多项的和的极限．对于这类问题，如果可能，应先求出其和再求极限． 因为11?21n?(n?1)?1n?1n?1，所以， 12121313141n1n?11n?1?12?311?2?...?11?21n?(n?1)?...??(1?1)?(?)?(1?)?...?(?)?1? ?lim(x???n?(n?1))?lim(1?n??n?1)?1（7）利用等差数列前n项的和的公式可得： lim(x??1n2?2n2?3n2?...?nn2)?lim1n2x??(1?2?3?...?n)?lim1n(n?1)n2x??2?12 I得limn!nn（8）因为0?n!nn?n(n?1)(n?2)...3?2?1n??n??n???...??n???n?n??n个n?1n，而lim1nx???0，由极限存在准则x???0．
（9）此极限属“1?”型，可利用第二重要极限的结论． 2(n?1) lim??n?2??x??n??n?12???lim?1??x??n??n2(n?1)?2n??22???lim??1???x???n?????nn?e (?lim22(n?1)nx???2) （10）与上题类似．
?3??3??n?2???lim???lim?1???lim?1??x??x??x??n?1n?1n?1??????nnn?1?3n??3n?1?e?3
例1．11 求下列极限：
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（1） limx?xx232?2x?1?1 ； （2）lim1?x?x?2cosx?1xsinx3x?2； （3）lim?x?1?33?1?x??? 21?x?2（4） limx(x2?1?x)； （5）limx??x?0； （6） limtanx?sinxarcsinx3x?0 ．
解 （1）注意到本题为“
00”型，分子、分母有公因子(x?1)，因为在“x?1”的过裎中x?1，
00故可以约去(x?1)．这种方法叫做消零因子法，这是处理“”型的较初等的方法，若满足洛必达法则（见下一章）的条件，使用该法则会更方便一些． limx?x?2x?1232x?1?lim(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)x?1?limx?2x?1x?1?32 （2）本题仍为“”型，但不能直接消零因子，注意到分子的特征，可对分子、分母同乘以001?x?3，再消零因子； lim1?x?x?23x?2?limx?2(x?2)(1?x?3)x?2?11?x?3?36 （3）本题为“???”型且是两个分式之差，可以通分后再处理． (1?x)(1?2x)2?1?x?2x?3lim???limlim?222x?11?x31?x?x?1(1?x)(x?x?1)(x?1)x?1(1?x)(x?x?1)(x?1)??lim1?2x(x2x?12 ?x?1)(x?1)?12 （4）limx(x2?1?x)?limx??xx?1?x2x???lim11?1x2x????112 若将上题改为limx(x2?1?x)．则极限不存在，从而limx(x2?1?x)不存在，因此 x???x??求极限时不能漏写“??”中的“?”号或“??”中的“—”号． （5）解法1 用第一重要极限． 2??xx??2??2sin2??2sin?sin2?cosx?1x1x122???limlim?lim?lim??????2x?0x?0x?0?x?0?xxsinxxsinxsinx22?x???sinx?4?????2?????2???x ． 解法2 用等价无穷小替换：当x?0时，1?cosx~x22,x~sinx·所以有
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