例4 f(x)?1x?1?x2的定义域是（ ）（2002）．
A ??1,1? B [?1,0)?(0,1] C [?1,??) D [0,??) 解 B 定义域D:??x?0?1?x2?x?0,?D:?,?D:0?x?1．故选B?0?x?1．
例5 函数f(x)=sinx?16?x2的定义域为（ ）（2003）．
A ?0,?? B ??4,?????0,?? C ??4,4? D ???,?? 解 B 定义域D???0?sinx?116?x2?0 ，??0?sinx?1 ?x?4?借助三角函数的图像可得D：-4?x???或0?x??，即D:??4,?????0,??． 例6 函数f(x)?x?1lnx的定义域为_____________（200401）． ?x?0?x?1解 ?0,1???1,??? 定义域D:?，即D:?0,1???1,???． 例7 在区间??1,1?上，设函数f(x)是偶函数，那么?f(x)（ ）（200501） A 是奇函数 B 是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 D 不能被判定奇偶性 解 B 记g(x)??f(x)，则在??1,1?上，有 g(?x)??f(?x)??f(x)?g(x)， 即?f(x)为偶函数，故选B． 例8 设f?x?在区间(??,?)内是奇函数，并且在区间(0,??)内严格单调增，那么函数f?x?在区间(??,?)内（ ）（200502）． A 严格单调减 B 严格单调增 C 既不严格单调增，也不严格单调减 D 可能严格单调增，也可能严格单调减 解 B 解 设任意x1,x2??0,???，且x1?x2，则f(x)由在?0,???内严格单调增得 f(x1)?f(x2)，
于是再有f(x)是???,???上的奇函数，得?x2??x1，且
f(?x2)?f(?x1)=?f(x2)?f(x1)?0，
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即f(x)在?0,???上严格单增，故f(x)在???,???内严格单调增．
说明：原题为“f(x)在?0,???内严格单调增”．如果不将左端点取成闭的，则本题无可选答案．
例9 函数y?arcsin(2x?1)?1lnx的定义域是（ ）（200601）．
A (0,1) B (0,1] C (0,2) D (0,2] 解 A 由2x?1?1及x?0,x?1解的函数y?arcsin(2x?1)?例10 函数f(x)?1x?3?ln(x?1)x?11Inx的定义域为(0,1)． 的定义域是 （ ）（200602）． A （?1,??) B （1,??） C (?1,3)?(3,??) D (1,3)?(3,??) 解 D 由题意： x?3?0，x?1?0，x?1?0，所以得到函数 y?域为(1,3)?(3,??)． 例11 函数y?3?x?sinx1x?3?ln(x?1)x?1的定义的定义域是 （ ）．（200603） A [0,1] B [0,1）?(1,3] C [0,??) D [0,3] 解 D 由题意：3?x?0及x?0，解得0?x?3，所以，函数y?3?x?sin是?0,3?，选D． 例12 函数f(x)?14?x2x的定义域?ln(x?1)的定义域是 （ ）（200702）． A （1,2) B (1,2] C [?2,2] D (1,??) 解 A 由题意：4?x2?0及x?1?0，解得：1?x?2，所以选A． 例13 函数f(x)?14?x2?ln(x?1)的定义域是 （ ）（200703）． A （1,2) B （?2,2） C (1,??) D (2,??) 解 A 由题意：4?x2?0及x?1?0，解得1?x?2,所以，选A．
第二节 极 限
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一、基本知识
1．数列 （1）定义
按照某一法则依自然数顺序排列的一列有序的数x1，x2，x3，?，xn，?叫做数列，简记作{xn}．其中每一个数叫做数列的项，第n项xn叫做通项（或一般项）． 一个数列实质上是一个函数，即xn?f(n)，其定义域为自然数集N． （2）性质 ?? 单调增加数列：对于每①单调性 单调数列??单调减少数列：对于每?个n，都有xn?1?xn. 例如：｛个n，都有xn?1?xn. 例如：｛n?1n1n｝.｝. ②有界性 若存在正数M．使得对一切n都有xn?M，则称?xn?有界，其中M称为?xn?的一个界；反之称?xn?无界． 例如：???1?n?是有界的，而?n?是无界的．
2．数列的极限
（1）定义 设?xn?为一数列，如果存在常数a，对于任给的正数?（不论它多么小），总存在正整数N，当n?N时，不等式xn?a??都成立，那么就称常数a是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于a，记作 limxn?an?? 或 xn?a(n??)． n如果数列没有极限，则说该数列发散．如数列???1??是发散的 （2)收敛数列的基本性质 ①(收敛的唯一性)若?xn?有极限，则极限必唯一．（对于函数的极限也有类似的结论．） ②(收敛的有界性)收敛数列必有界；反之不一定成立． 如：数列???1??有界，但不收
n敛．
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3．函数的极限 (1) 定义 limf(x)?A x??x???limf(x)?A x???limf(x)?A 设x充分大时，f(x)有定义，若对有设x充分小时，f(x)定义，若对有设x充分小时，f(x)定义，若对???0,?X?0当x?X???0,?X?0当x??X???0,?X?0当x?X时，不等式 f(x)?A?? 时，不等式 f(x)?A?? 时，不等式 f(x)?A?? 恒成立，则称x??时，恒成立，则称x???时，恒成立，则称x???时，f(x)的极限为A． f(x)的极限为A． f(x)的极限为A． x?x0limf(x)?A 左极限： f(x0)?lim?f(x)?A x?x0右极限： f(x0)?lim\\?f(x)?A x?x0??设函数f(x)在x0的设函数f(x)在x0的设函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义，左 右侧临近有定义，若对 侧临近有定义，若对 若对???0,???0，当 ???0,???0，当 ???0,???0，当 0?x?x0??时，不等式 0?x?x0??时，不等式???x?x0?0时，不等f(x)?A?? f(x)?A?? 式 恒成立，则称x?x0时，f(x)的极限为Af(x)?A?? ?恒成立，则称x?x时，0． 恒成立，则称x?x0?f(x)的极限为A． 时，f(x)的极限为A． (2)定理 ①limf(x)?A的充分必要条件是limf(x)?limf(x)?A． x?x0x?x?0x?x?0 ②若limf(x)?A，且A?0(或A?0)，则必存在x0的某一去心邻域，在该邻域内有 x?x0f(x)?0(或f(x)?0)．
③若在x0的某一去心邻域内有f(x)?0(f(x)?0)，limf(x)?A，则必有A?0(或A?0) ．
x?x0 极限计算：一看趋向，看未知量的趋向方向，常数还是无穷；二代入判断类型? 上述(2)、(3)称为x?x0时函数极限的局部保号性定理，对于在x的其它趋向下也有类似的定理（数一）．
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4．极限存在准则
准则 I（夹逼准则）：如果数列xn、yn及zn满足条件： （1） 从某项起，即?n0?N，当n?n0时，有 yn?xn?zn， （2） limyn?a,limzn?a，
x??x??那么数列xn的极限存在，且limxn?a． n?? 准则 I?： （1）当x?U(x0,r)（或x?M）时， g(x)?f(x)?h(x) （2）limg(x)?A,limh(x)?A， x?x0(x??)x?x0(x??)0那么则limf(x)存在，且等于A． x?x0(x??) 准则 II：单调有界数列必有极限．
5．无穷大与无穷小 (1)定义 ①设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义，如果对?M?0,???0，当0?x?x0??时，恒有f(x)?M成立，则称x?x0时f(x)为无穷大，记作limf(x)??． x?x0 注意“?”仅是一个记号，不是通常的“数”，不能像数那样进行运算．limf(x)??实
x?x0质上是limf(x)不存在的特殊情况． x?x0②若limf(x)?0，则称x?x0时f(x)为无穷小． x?x0 注意常数“0”在x的任何趋向下都是无穷小，但除此之外的任何数（无论其绝对值多么小）都不是无穷小． (2)无穷小与无穷大的关系 若limf(x)??．，则称limx?x01f(x)x?x0?0；反之，若limf(x)?0，且f(x)在x0的某个邻域内x?x0不为零，则lim1f(x)??（通常说成，无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大，但
x?x0是要注意上述的“limf(x)?0，且f(x)在x0的某个邻域内不为零”）
x?x0(3)无穷小的运算性质（下列结论均指自变量x的同一趋向下成立） ①有限个无穷小之和仍是无穷小； ②有限个无穷小之积仍是无穷小； ③有界函数与无穷小之积是无穷小
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