《概率论》计算与证明题 113 第四章 数字特征与特征函数
1、设?是事件A在n次独立试验中的出现次数，在每次试验中P(A)?数或奇数而取数值0及1，试求E?及D?。 2、袋中有k号的球k只，kp，再设随机变量?视?取偶
?1,2,?,n，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。
pn?ABn/n!，已知E??a，试决定A与B。
3、随机变量?取非负整数值n?0的概率为
4、袋中有n张卡片，记号码1,2,?,n,从中有放回地抽出k张卡片来，求所得号码之和?的数学期望及方差。
5、试证：若取非负整数值的随机变量?的数学期望存在，则E???P{??k}。
k?1?1?|x???|6、若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为p(x)?e,???x??, ??0。试求
2?E?，D?。
7、若?1,?2相互独立，均服从N(a,?2)，试证Emax(?1,?2)?a???。
8、甲袋中有a只白球b只黑球，乙袋中装有?只白球?只黑球，现从甲袋中摸出c(c?a?b)只球放
入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。
9、现有n个袋子，各装有a只白球b只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第
二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n次摸球中所摸得的白球总数为Sn，求
Sn。
10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体
质重量，试说明这样做的道理。 11、若?的密度函数是偶函数，且E?2??，试证?与?不相关，但它们不相互独立。
?122?,x?y?112、若?,?的密度函数为p(x,y)???，试证：?与?不相关，但它们不独立。
22?0,x?y?1?13、若?与?都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 14、若U
?aX?b,V?cY?d，试证U,V的相关系数等于X,Y的相关系数。
《概率论》计算与证明题 114 15、若?1,?2,?3是三个随机变量，试讨论（1）?1,?2,?3两两不相关；
（2）D(?1??2??3)?D?1?D?2?D?3；（3）E??12?316、若?,?服从二元正态分布，E??E?1?E?2?E?3之间的关系。
?a,D??1,E??b,D??1。证明：?与?的相关系数r?cosq?，
其中q?P{(??a)(??b)?0}。 17、设(?,?)服从二元正态分布，E??E??0,D??D??1,r???r，试证：Emax(?,?)?(1?r)?。
18、设?与?独立，具有相同分布N(a,?2)，试求19、若?服从N(a,?2)，试求E|??a|k。
p??q?与u??v?的相关系数。
20、若?及?分别记二进制信道的输入及输出，已知P{??1}?p,P{??0}?1?p,
P{??1??1}?q，P{??0??1}?1?q,P{??1???0}?r,P{??0??0}?1?r，试求
输出中含有输入的信息量。
21、在12只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，
试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重。 22、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。
23、在贝努里试验中，若试验次数v是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充要
条件，是v服从普阿松分布。
24、设{?k}是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和???1??2???v，其中v是
随机变量，它与{?k}相互独立，试用（1）母函数法，（2）直接计算证明
E??Ev?E?k,D??Ev?D?k?Dv?(E?k)2。
25、若分布函数F(x)?1?F(?x?0)成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它的
特征函数是实的偶函数。 26、试求[0,1]均匀分布的特征函数。 27、一般柯西分布的密度函数为
p(x)?1???(x??)??22,??0。证它的特征函数为
expi{?t??
28、若随机变量
t|，利用这个结果证明柯西分布的再生性。|}?服从柯西分布，
??0,??1，而???，试证关于特征函数成立着
《概率论》计算与证明题 115 f???(t)?f?(t)?f?(t)，但是?与?并不独立。
29、试求指数分布与??分布的特征函数，并证明对于具有相同?值的??分布，关于参数r有再生性。 30、求证：对于任何实值特征函数
f(t)，以下两个不等式成立：
1?f(2t)?4(1?f(t)),1?f(2t)?2(f(t))2。
31、求证：如果
f(t)是相应于分布函数F(x)的特征函数，则对于任何x值恒成立：
1T?itxf(x)edt?F(x?0)?F(x?0)。
T??2T??Tlim?1?dk32、随机变量的特征函数为f(t)，且它的n阶矩存在，令Xk?k?klogf(t)?,k?n，称Xk为
i?dt?t?0随机变量的k阶半不变量，试证????b（b是常数）的k(k?1)阶半不变量等于Xk。 33、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。
??1???34、设?1,?2,?,?n相互独立，具有相同分布N(a,?2)试求???的分布，并写出它的数学期望及协??????n?1n方差阵，再求????i的分布密度。
ni?135、若?服从二元正态分布N(0,?)，其中???退化的正态分布，并求?的密度函数。
36、证明：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变。 37、若(?,?)的分布为
?42?，试找出矩阵A，使??A?，且要求?服从非??21?p(??k1,??k2)?n!p1k1p2k2(1?p1?p2)n?k1?k2 0?pi?1
ki!k2!(n?k1?k2)!，（1）求随机变量?的边际分布；（2）求E(?|?)。 0?ki?n k1?k2?n i?1,2ABn38、若r,v,?的取值是非负数，且p(??n)?,又E??8，求A??,B??
n!39、设?
40、某汽车站在时间t内发车的概率为P(t)=1-e?8t~N(2,1),?~N(1,4)且二者独立，求U???2? ,V?2???的相关系数?uv
，求某人等候发车的平均匀时间。
41、某厂生产的园盘的直径服从(a,b)内的均匀分布，求园盘面积的数学期望。 42、搜索沉船， 在时间t内发现沉船的概率为P(t)?1?e
??t(??0)， 求为了发现沉船所需要的平均
《概率论》计算与证明题 116 搜索时间。
43、从数字1,2,3,4中按有放回方式取数，设随机变量?表示第一次选取的数字，随机变量?表示第二
次选取的不小于?的数字. (1)写出(?,?)的联合分布列; (2)求E?.
44、如果?,?,?互不相关,且方差分别为1,3,6,求u????,v????的相关系数?uv.
45、将三个球随机地放入三个盒子中去，设随机变量?,?分别表示放入第一个、第二个盒子中的球的个
数。1)求二维随机变量(?,?)的联合分布列; 2)求E?
46、设RV?,? 相互独立，且E?数
?2, D??1, E??1, D??4，求U??-2 , V?2?-? 的相关系
puv。
47、民航机场一送客汽车载有20个旅客从机场开出，旅客可从10个站下车，如果到站没人下车就不停
车，假定乘客在每个车站下车是等可能的，求平均停车次数。 48、据统计，一个40岁的健康者在5年内死亡的概率为1-p，保险公司开办五年人寿保险，条件是参
加者需要交保险费a元，若五年内死亡，公司赔偿b元(b?a)，问b应如何确定才能使公司可望受益？若有m个人参加保险，公司可望收益多少?
49、对敌人防御地段进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值是2，方差是
1.69，求100次轰炸中有180～220颗命中目标的概率。 50、若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有1把打开门上的锁。用它们去试开门上的锁，设取得每
把钥匙是等可能的。若每把钥匙试开后除去，求试开次数X的期望。 51、对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间[a,b]上。求球的体积的期望。 52、设X服从几何分布，它的概率分布列为：P{X其中q?1?p，求E(X)，?i}?qi?1p,n?1,2,?，
D(X)。
53、设离散随机变量X的分布列为P{X1????i}?,i?1,2,?，求Y?sin?X?的期望。
2?2?54、有3只球，4只盒子，盒子的编号为1,2,3,4。将球随机地放入4只盒子中去。记X为其中至少有
1只球的盒子的最小号码。求E(X)。
55、随机地掷6个骰子，利用切比雪夫不等式估计6个骰子出现点数之和在15点到27点之间的概率。
56、已知正常成人血液中，每亳升白细胞数平均是7300，标准差是700。利用切比雪夫不等式估计每亳
升男性成人血液中含白细胞数在5200至9400之间的概率
p。
《概率论》计算与证明题 117 57、一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立且服从同一分布、其期望是2mm，
标准差是0.05mm。规定总长度为(20?0.1)mm时产品合格，求产品合格的概率。
58、根据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取16只，设它们
的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。 59、证明Cuchy---Swchz不等式，若E?2?E?2 存在 ,则60、设r>0，则当 E|?| 存在时，
rE???E?2?E?2 E|?|r2???0,有P(|?|??)??r。
61、若P(??k)?pqk-1 k?1,2,? p?q?1(p?0) 则E??1。 p62、设?与?都只取两个数值，且?与?不相关，则?与?独立。 63、叙述并证明契比雪夫大数定律。
64、若?是取非负整数的随机变量，E?,D?均存在，则E???P(??i)。
i?1?65、设
??,??的联合密度函数是f(x,y)?1?R12?1?R2e?1x2?2Rxy?y22(1?R2)??，求证:
E?max(?,?)???
2?b?a?66、证明：对取值于区间[a,b]中的随机变量?恒成立，a?E??b,D(?)???。
2??67、设随机变量?的方差D?存在，c为任一实数，证明：D??E(??c)2
?xn?x?e68、设随机变量?的密度函数为：p(x)??n!??0x?0x?0 ， 其中n为正整数， 证明：
p{0???2(n?1)}?69、若
n n?1RV?1,?2,?,?n相互独立且同分布，E?i?1, D?i?1, i?1,2,3,?,n，试证： 对任意的
k??(k?1) k(k?1,2,?,n) 有P?0???i?2k??k?i?1?n170、如果随机变量序列{?n}，当n??时有2D(??k)?0，证明：{?n}服从大数定律.
nk?1