《概率论》计算与证明题 143 E(Xi)?2,D(Xi)?(0.05)2，
故由中心极限定理，产品合格的概率为
10???0.1???0.1?P?20?0.1??Xi?20?0.1?????????
i?1?0.0510??0.0510????10???10??10?????5??????5???2???5???1?2??0.63??1?0.4714??????
58、解：设第i只元件的寿命为Xi(i?1,2,?,16)，则Xi独立且服从指数分布，且
E(Xi)?100,D(Xi)?1002
?16??1920?16?100??1920?1600?故P??Xi?1920??1????1???1??(0.8)?0.2119 ???40016?100?????i?1?
259、证明: 令g(t)?E(t???)2，对于一切t； ?(?t?y)所以E(t???)2?0, ?0 故g(t)?0即： t2E?2?2tE???E?2?0
?E?2?E?2?0
至多只有一个实根 ???(E??)2 从而(E??)2?E?2?E?2 证毕
60、证: 设
?的分布函数为F(x) ，因为：E|?|r 存在(r?0)
??????xdf(x)???
??r 故P(?
??)??1?dF(x)??x??xr???rdF(x)?1?r??????xdF(x)?rE?r?r
61、证： ?E???k?p(??k)
k?1? ?E?
??k?pqk?1?k?1?p?(q)??p(?qk)??pkk?1k?0??11?
(1?q)2p62、证： 设(?,?)的分布列:p(? ?E?
?xi,y?yj)?piji?12,
j?12,?x1(p11?p12)?x2(p21?p22) E??y1(p11?p21)?y2(p12?p22)
《概率论》计算与证明题 144 (,?)?0 即得 由于?,?不相关 ?cov?i?12, pij?(pi1?pi2)(pj1?pj2)
j?12,即
63、证： 切比雪夫大数定律是: 若{?n}是两两互不相关的随机交量序列，且存在常数c，使D?ip(??xi,y?xj)?p(??xi)?p(??xj)，故(?,?)独立。
?c
1n1ni?1,2?,，则???0 limp(??i??E?i??)?0
n??ni?1ni?11n1n 证明: 由切比雪夫不等式知： p(??i??E?i??)?ni?1ni?1(用到了?1??n? 互不相关性)
D(??i)n?i?122n?cn?2
c1n1n?c是常数?n??2?0?limp(??i??E?i??)?0 证毕
n??ni?1ni?1n?
64、证： 设?的分布列:P(??2, ?E???ipi??ipi ?i)?pi i?0,1,?i?0i?1??而
?p(??i)?pi?11?2p2?3p3???npn??
?E???p(??i)
i?1? 65、证：
E?max(?,?)??12?1?R2??????????max(x,y)e?1(x2?2Rxy?y2)2(1?R2)dxdy
11(x2?2Rxy?y2)(x2?2Rxy?y2)????x???y?222(1?R)2(1?R)dy??ydy?edx?????xdx???e????????1(x2?2Rxy?y2)????x?12(1?R2)?dy? ?xdx???e2????1?R????1?2?1?R2?(y?Rx)2x2?????x?12(1?R2)2?xedx?e?dy?
2???????1?R???
《概率论》计算与证明题 145 1?Rx2?y2????xx??1???xe2dx?1?Re2dy?
?????????1????e????x2?2?1?Ry2x?1?R2??e1?1?R?21?x?11?R???2??1?R??dy??edx ????????1?R?1?R? 66、证：设F(x)是?的分布函数，a? 即:
67、证：E(??c)2
68、证： 因
故
69、证：因
b?adF(x)??xdF(x)?E???xdF(x)??bdF(x)?b
aaababbba?E??b D(?)??(x?E?)2dF(x)??(x?aa?b2)dF(x) 2?E[??E??E??c]2?E(??E?)2?(E??c)2?D??(E??c)2?D?
E??n?1,D??n?1
P{0???2n(?1)?}P??{?E??1??n??1}n?1n? 2(n?1)n?1E(??i)?k,D(??i)?k，
i?1i?1kkkkk?1???k? 故P?0???i?2k??P?|??i?k|?k??1?2?
kk?i?1??i?1?
?n?E?n????i????i??i?1? n?1,2,?
70、证：取 an?E?i?1??n?n?????D(i?1)n1i?1n?an|??}??22D(??i)?0 则 0?P{|n?2n?i?1i??n??ni即P??i?1nin?an???1 故{?n}服从大数定律
《概率论》计算与证明题 146 ?1?x21?221?x,x?1????dy271、证：先求边际分布。 P ???(x)????p(x,y)dy???1?x???0,其它0?????221?y,y?1?? 类似 P ?(y)???0,其它? 再求
??0 Cov(?,?)。 由于P?(y)均为偶函数 ?E??E?(x),PE???x2?y2?1??1xy?dxdy?0 ?Cov(?,?)?0??与?不相关
? 最后，由于P(x,y)?
72、证：E?P?不相互独立 ?(y) ??与?(x)P??2??0m?1?xxm?xx?edx?(m?1)?e?xdx?m?1
0(m?1)!m!?m?2?xxm?xxedx?(m?2)(m?1)?e?xdx?(m?2)(m?1)
0(m?2)!m!2
E???0?D?2?E?2?(E?)2?(m?2)(m?1)?(m?1)2?m?1 ?P(0???2(m?1))?P(?(m?1)???(m?1)?m?1
?P(???E???(m?1)?1?
73、证：E(Xi)??ni故D(Xi)?E(Xi
2D?m?
(m?1)2m?1111?221?1?22212?，?01??ni?0E(X)?ia?0?1??ia2?a2 i??22?222?2i2i2i2i?i??n?)?(E(Xi))2?a2。从而
a2?1n?1n?1n?1nE??Xi???E(Xi)?0，D??Xi??2?D(Xi)?
n?ni?1?ni?1?ni?1?ni?1由切比雪夫不等式
?1n?DX?n?i?a2?1n??1??p??Xi?????i2?0,2n?n??i?1? 74、证：设
n??
则f(?x)?f(x)。由xf(x)是奇函数可得E??0，从而E?E|?|?0。f(x)是?的密度函数，
《概率论》计算与证明题 147 又由于x|x|f(x)是奇函数，得
E?|?|??x|x|f(x)dx?0?E?E|?|
???故|?|与?不相关。
由于?的密度函数是偶函数，故可选c?0使0?P{|?|?c}?1，亦有P{??c}?1，
?P{??c}P{|?|?c}?P{|?|?c}?P{??c,|?|?c}
其中等式成立是由于{|?|?c}?{?
75、证：E??c}。由此得|?|与?不独立。
?????????xp(x,y)dxdy??xdx??111?x21?1?x2?1dy?0，同理E??0。
1?x2cov(?,?)?E???E?E???xdx??11?1?x2?ydy?0
即?与?不相关。但?与?不独立，事实上可求得
?22?22?1?y,|y|?1?1?x,|x|?1p?(x)??x，p?(x)??y，
??0,|x|?1|y|?1?0,?而当|x|?1且|y|?1时，
76、证：设?p(x,y)?p?(x)p?(y)。
?a,b??c,d??,?p,q?。作两个随机变量
p,q?11??22??a?b,0?*?c?d,0?????b:??,????d:?p,q?。
p,q?11??22?*由?与?不相关即E???E?E?得
E?*?*?E(???b??d??bd)?(E?E??bE??dE??bd)
?(E??b)(E??d)?E?*E?*，
而
E?*?*?(a?b)(c?d)P?{*?a??b,*?c?，}d*， }E?*E?*?(a?b)P{?*?a??}b(?c)d?{P??cd由上两式值相等，再由(a?b)(c?d)?0得