《概率论》计算与证明题 133 ei?tz1t?ti1??tei?tzei?tz?e?e c?1?lim(z?i)?lim(z?i)?limz?iz?iz?i1?z2z?i(z?i)(z?i)2i2i把（2），（3），（4）代入（1）式得
??由于
??eit?u1du??e??t （5） 21?ueit?u11isint?u?cost?u?sint?u，是u的奇函数，它在(??,?)上积分值为0；1?u21?u21?u2(1?u2)cost?u是的偶函数，当t?0时，其积分值应与t?0时积分值相等；再注意到（5）中右端t?0，所2(1?u)以当t?0时有
?当t?0时有
???eit?u1du??e??|t| （6） 21?u????eit?u?it?u11???0du?edu????e （7） 22???1?u1?u把（5）—（7）代入（1）式得，对任意有
f(t)?exp{it???|t|}。
现证柯西分布具有再生性。设?1(i?1,2)的特征函数为立，???1??2，则
fi(t)?exp{it?i??i|t|}，再设?1与?2独
f?(t)?f1(t)f2(t)?exp{it(?1??2)?(?1??2)|t|}，
所以?仍服从柯西分布，且参数为?1??2,?1??2。
28、证：由上题得
f?(t)?f?(t)?e?|t|，所以由????2?得
f???(t)?f2?(t)?e?|2t|?e?2|t|?f?(t)?f?(t)。
但?与?并不独立，事实上，可取c使0?P{??c}?1，则
P{??c,??c}?P{??c}?P{??c}?P{??c}，
这说明由?与?独立可推得
29、解：（1）指数分布。当x?0时，其密度函数为
f???(t)?f?(t)?f?(t)，但反之不真。
p(x)??e??x，所以它的特征函数为
f(t)??e?edx???e??x00?itx?x(???it)dx??it???ex(it??)o?it????1??， it???????1
《概率论》计算与证明题 134 其中|ex(it??)|?e??x?0(x??)。
p(x)?（2）??分布。当x?0时，其密度函数为
?r?(r)xr?1e??x，为求其特征函数，我们指出，
对复数z?b?ic，只要b?0，就有如下等式成立：
?利用此式可求得??分布的特征函数为
?0xr?1e?zxdx??(r)。 zrf(t)??e0?itx?r?(r)xedx?r?1??x?(r)??r?r?0xr?1e?(??it)xdx
?(r)?it????1??。 ?(r)(??it)r????现证??分布具有再生性。设?1~G(?,r1),?2?r?r~G(?,r2)，则它们的特征函数分别为
?r?it?1?it?2f1(t)??1??,f2(t)??1??，
??????再设?1与?2独立，???1??2，则有
?it?f?(t)?f1(t)?f2(t)??1?????所以服从??分布，??分布具有献策性。 30、证：
?r1?r2，
f(t)是实值函数，复数部分为0，只需对实部计算。
??????1?f(2t)??(1?cos2tx)dF(x)??2sin2txdF(x)
?2?(1?costx)(1?costx)dF(x)?4?(1?costx)dF(x)?4(1?f(t))。
??????1?f(2t)??(1?cos2tx)dF(x)?2?2cos2txdF(x)
???????2?????costxdF(x)?2(f(t))2，
?2其中利用柯西——许瓦兹不等式（置?(x)?costx,?(x)?1）
???(x)????2(x)dF(x)?(x)dF(x)??
31、证：I2?????(x)dF(x)?。
2?lim1T1T?itxf(t)edt?limT??2T??TT??2T??T?????eit(y?x)dF(y)?dt。
?
《概率论》计算与证明题 135 由于
eit(y?x)?1，所以eit(y?x)关于乘积测度PF?L[?T,T]绝对可积，由富比尼定理知可交换上式中积
分次序，得
I?lim1?dF(y)T??2T?????eit(y?x)dt。 ?TT?1Tit(y?x)edt，则当y?x时有 记g(T,y)?2T??Tg(T,y)?1Tdt?1， ??T2T1TsiTny(?x)?2cots?y(xd)?t当y?x时有 g(T,y)。 2T?0T(y?x)由此得|g(T,y)|?1，且limg(T,y)??T???0,y?x。由控制收敛定理得
?1,y?x{x}I??
???T???limg(T,y)?dF(y)??dF(y)?P{x}?F(x?0)?F(x)。
32、证：由????b得
f?(t)?eitbf?(t)，亦有logf?(t)?itb?logf?(t)。
当k?1时，等式两边同对t求k阶导数，itb一项导数为0所以由定义得?的Xk等于?的Xk。
33、解：利用特征函数
f(t)的原点矩mk之间的关系式f(k)(0)?ikmk，可把f(t)展成幂级数
f(0)?1 （1）
f(t)?1??mkk(it),k!k?1?又利用上题中定义的Xk，可把logf(t)展成幂级数logf(t)??Xkk(it) k?1k!???Xkk??f(t)?exp??(it)?。 （2）
?k?1k!?再把（2）中的e展成幂级数得
y1?Xkk1??Xkk?f(t)?1??(it)???(it)???。 （3）
1!k?1k!2!?k?1k!?比较（1）与（3）式中的系数，可得半不变量与原点矩之间的关系式
34、解：由诸?1独立得?的密度函数为
2 《概率论》计算与证明题 136 np(x1,?,xn)??p?i(x)?i?1??(xi?a)2???， ?exp?n2ni?12???2??1n?数学期望和协方差阵为
??20?a????2??， B???。 E??????????a????n?12??0????n?n由上题知，
??2?1n2??1n?~N??a,2????N?a,?，
?ni?1ni?1??n??n(x?a)2?exp??所以?的分布密度为p?(x)??。 22?2????n
35、解：取E??0,D??C,?~N(0,C),C??征函数分别为
?10?。令??A?，其中A?(aij)2?2，则?与?的特??01??1??1?f?(t)?exp??t?Ct?,f?(t)?exp??t?(ACA)t?，
?2??2?且有ACA???，即
22?a12a11a21?a12a22??42??a11a12??10??a11a21??a11?。 ????aa??01??aa???22a21?a22??21???2122??a11a21?a12a22?2122??
?222?矩阵A不唯一，取a11?2可解得a12?2,a21?，从而A??2,a22?22??2题中的要求，由?~N(0,C)得?非退化，且?的密度函数为
36、证：设?2??2?，这时满足?2?p(x1,x2)?1?12?exp???x12?x2??。 2??2??(?1,?,?n)?，?i独立同方差，其协方差矩阵和特征函数分别为
??20?????1??D?????B， f(t)?exp?iat?tBt?。 ??2??2??0???
《概率论》计算与证明题 137 ?c11?c1n???再设??C?，其中C????是正交矩阵，即满足 ???c?c??n1nn??cj?1n2ij?1，
?cj?1njick??k)。 i0(j由此得?~N(Ca,CBC?)，其特征函数为
1??f?(t)?exp?i(Ca)?t?t?(CBC)t?，即?的协方差矩阵为
2??CBC?，利用C的正交性计算得
0??c11?c1n???2c11??2c1n??c11?c1n??c11?c1n???2????????????????
CBC????????????????????222?c?c??0?????????cn1?cnn???cn1??cnn??cn1?cnn??n1nn???22??c11??2?cc?2111??????????cc?2?n111?c11c21?222?c21??????cn1c21?2??c11cn1?2????c21cn1?2????????22???cn1????20????????B
2??0???矩阵中?都是对i从1到求和的。由协方差矩阵知，?的各分量?1,?,?n间两两不相关且同方差，再由正态分布间相互独立的充要条件是它们两两不相关得，?1,?,?n相互独立且同方差。
37、解： (1) ?P?(??k1)?n?k1k2?0?P(??k,??k)
12 ??的边际分布是:
P?(??k1)?n!k1n?k1 k1 ?0,1,2,?,n P1(1?p1)k1!(n?k1)! (2) 同理 ??
P?(??k2)?n!2,n , P2k2(1?Pc)n?k2 k2 ?0,1,?k2!(n?k2)!?k1给定的?条件密度
(n?k1)!PP(2)k2(1?2)n?k1?k2 k2 ?0,1,2,?,n -k1
k2!(n?k1?k2)!1?P1?P11P??|? ?E(?|?)?(n??)
P2 1?P1??ABnABk?1， 又?E??8 ??k??8 38、解: 由? 的取值特征有: ?k!n?0n!k?0