《概率论》计算与证明题 148 P{?*?a?b,?*?c?d}?P{?*?a?b}P{?*?c?d}
此即P{??a,??c}?P{??a}?P{??c}。同理可证
P{??a,??d}?P{??a}?P{??d}，P{??b,??c}?P{??b}?P{??c} P{??b,??d}?P{??b}?P{??d}，
从而?与?独立。
77、证：EU?aEX?b,DU?a2DX，EV?cEY?d,DV?c2DY，
cov(U,V)?Ea(X?EX)c(Y?EY)?ac?cov(X,Y)，
rUV?欲rUV
78、证：E?pcov(U,V)ac?rxy。
|a|DX|c|D(Y)|ac|?rxy，题中需补设a与c同号。
??rArxpA??11rdx?rA?Axr?p?1dx。当且仅当r?p?1?1，即p?r时上式积分收xr?1敛，E?p存在。当时，
rr?1?E?p?Ar??r?p??Ap。
r?p?x?Ar?p
79、证：对a?0，由于lim?xx???1此时 M?ex?M，所以存在，使当时，2x??(logx)2(logx)E|?|?2?a?0?1?1xaxadx??dx?dx??， 22??0M2x(logx)x2x(logx)x?E|?|a??。
80、证：ak?1t2?2akt?ak?1???????t2|x|k?1?2t|x|t?|x|k?1?dF(x)
211(k?1)(k?1)?????t|x|2?|x|2?dF(x)?0 ????即u(t)?ak?1t22?ak?1?0对任意t成立。又ak?1?0，所以判别式??4ak?4ak?1ak?1?0，即
《概率论》计算与证明题 149 22kkk?akak?ak?1ak?1，从而有ak,2,?,n?1得 ?1ak?1。依次令k?1422(n?1)n?1n?1a12?a0a2,a2?a12a3,?,an?11?an?2an
其中a0k?1k?ak?1。把这些不等式中前k个的左右两边分别相乘化简得ak?1，两边同开k(k?1)次方，即得
kak?k?1ak?1。
n?1~b(k;n,p),?2~b(k;m,p)，则它们的母函数分别为P1(s)?(ps?q)81、证：（1）设,
mP2(s)?(ps?q)。再设?1与?2独立，???1??2，则?的母函数为
nmn?m P?(s)?P1(s)?P2(s)?(ps?q)(ps?q)?(ps?q)二项分布b(k;n?m,p)的母函数为(ps?q)n?m，由于母函数与分布列之间是相互唯一确定的，由此即得?服从b(k;n?m,p)，即二项分布具有再生性。
（2）设?1,?2分别服从参数为?1,?2的普阿松分布，其母函数分别为
P)},P)}。再设?1与?2独立，???1??2，则?的母函数为 1(s)?exp{?1(s?12(s)?exp{?2(s?1P?(s)?P1(s)P2(s)?exp{(?1??2)(s?1)}。
所以?服从参数为?1??2的普阿松分布，普阿松分布具有再生性。
82、证：必要性。由F(x)?1?F(?x?0)得P{?所以对特征函数
此即F?x}?P{???x}?P{???x}，?(x)?F??(x)，
f(t)有
f(t)?Eeit???eitxdF?(x)??eitxdF??(x)?Ee?it??f(t)，
由此知
f(t)是实函数。又有
f(?t)??e?itxdF?(x)??e?itxdF??(x)?Ee?it(??)?Eeit??f(t)，
所以
f(t)又是偶函数。
充分性。由于
f?(?t)?Ee?it??Eeit(??)?f??(t)，又由题设知f?(t)是实函数，所以
f?(t)?f?(t)?f??(t)。由唯一性定理知，?与??的分布函数相同，F?(x)?F??(x)，即
P{??x}?P{???x}?P{???x，从而}F(x)?1?F(?x?0)。
《概率论》计算与证明题 150 83、证：由上题得
f?(t)?f?(t)?e?|t|，所以由????2?得
f???(t)?f2?(t)?e?|2t|?e?2|t|?f?(t)?f?(t)。
但?与?并不独立，事实上，可取c使0?P{??c}?1，则
P{??c,??c}?P{??c}?P{??c}?P{??c}，
这说明由?与?独立可推得
84、证：记?i的分布函数为F(y)，则当y?0时F(y)?0；当y?0时
2f???(t)?f?(t)?f?(t)，但反之不真。
F(y)?P?y??i?y??2??y?yx21?12edx， 2?利用对参变量积分求导法则，对F(y)求导可得?i的分布密度
p(y)当y?0时p(y)?0；当y?012?1?11y?1?1?y1?11??2???222。 时 p(y)?e???ye??2y2y?1?2??????2???把此式与X2?分布密度比较可知，?i2服从自由度为1的X2?分布，也就是服从??分布
n?11?。由?间独立得?2间也独立，利用上题结论可得?11?，2??服从分布G?,????G?iii?2,2n?22????i?1即自由度为n的X 85、证：
2?分布。再由上题中??分布具有再生性可得，这里X2?分布也具有再生性。
f(t)是实值函数，复数部分为0，只需对实部计算。 1?f(2t)??(1?cos2tx)dF(x)??2sin2txdF(x)
???????2?(1?costx)(1?costx)dF(x)?4?(1?costx)dF(x)?4(1?f(t))。
??????1?f(2t)??(1?cos2tx)dF(x)?2?2cos2txdF(x)
???????2?????costxdF(x)?2(f(t))2，
?2其中利用柯西——许瓦兹不等式（置?(x)?costx,?(x)?1）
???(x)????2(x)dF(x)?(x)dF(x)??
2?????(x)dF(x)?。
2
《概率论》计算与证明题 151 86、证：由????b得
f?(t)?eitbf?(t)，亦有logf?(t)?itb?logf?(t)。当k?1时，等式两边同对t求k阶导数，itb一项导数为0所以由定义得?的Xk等于?的Xk。
87、证：当x?0时有
??
1??x22xedt???xtex1?t221?dt??ex?1?t22x2?1?12??e ?xx?t2x?12?e 21?x?1??t22xedt???x11??t2?t2??t2t4?2t2?1?1t?t2e2dt??d??e2??e4222xt?2t?1?1?t?1?tx所以不等式成立。
88、证：因为?k,?1(|k?l|?2)是独立的，所以
n?11?n?1?n?1?n?2D??E(??E?)?E(??E?)?2(??E?)(??E?)??kkk??kkkkk?1k?1? ??22??2?n?k?1?n?k?1?n?k?1k?1?2n2n?1?222322?2D?k?2?rk,k?1???????0(n??)
nnnk?1nn