《概率论》计算与证明题 118 ?1?71、设(?,?)的密度函数是 P(x.y)?????0x2?y2?1x2?y2?1 ，证明?与?不相关，且不独立。
?xm?x(x?0)?e72、设连续型R,V?的密度函数为P(X)??m! (其中m为正整数)，试利用契贝晓夫不
?(x?0)?0等式证明P(0???2(m?1))?m. m?173、设X1,X2,?,Xn,?是独立随机变量序列，Xi的分布列为
X ?ia 0 ia 12i2 1?p 1 i2i=1,2,?
1 2i2?1n?证明：limp??Xi????0
n???ni?1?74、若?的密度函数是偶函数，且E?2??，试证?与?不相关，但它们不相互独立。
?122?,x?y?175、若?,?的密度函数为p(x,y)???，试证：?与?不相关，但它们不独立。
22??0,x?y?176、若?与?都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 77、若U?aX?b,V?cY?d，试证U,V的相关系数等于X,Y的相关系数。
?rAr,x?A?78、Pareto分布的为密度函数为p(x)??xr?1，这里r?0,A?0，试指出这分布具有p阶矩，
??0,x?A当且仅当
p?r。
1?,|x|?e?2a79、若?的密度函数为p(x)??2|x|(log|x|)，试证对于任何a?0，E|?|??。
?0,其它?80、记ak?E|?|k，若an??，试证，kak?k?1ak?1， k?1,2,?,n?1。
81、试用母函数法证明二项分布及普阿松分布的再生性。
82、若分布函数F(x)?1?F(?x?0)成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它的
《概率论》计算与证明题 119 特征函数是实的偶函数。 83、若随机变量
?服从柯西分布，
??0,??1，而???，试证关于特征函数成立着
f???(t)?f?(t?)ft)?与?并不独立。 ?(，但是
84、若?1,?2,?,?n相互独立且服从相同分布N(0,1)，试证??说明X2??i?1n2i服从参数为n的X2?分布，并
?分布也有再生性。
85、求证：对于任何实值特征函数
f(t)，以下两个不等式成立：
1?f(2t)?4(1?f(t)),1?f(2t)?2(f(t))2。
?1?dkX?logf(t),k?n，称Xk为86、随机变量的特征函数为f(t)，且它的n阶矩存在，令k?k?ki?dt?t?0随机变量的k阶半不变量，试证????b（b是常数）的k(k?1)阶半不变量等于Xk。
11??t2?x2x?2x2187、求证，在x?o时有不等式e??e2dt?e2。 2x1?xx188、若?k具有有限方差，服从同一分布，但各k间，?k和?k?1有相关，而?k,?l(|k?l|?2)是独立的，
证明这时对{?k}大数定律成立。
第四章 解答
1、解：?服从两占分布，由第二章第29题得，P{??1}?P{事件A出现奇数次}=
1111?(1?2p)n,P{??0}?P{事件A出现偶数次}??(1?2p)n，所以 2222E??11?(1?2p)n， 22?11??11?11D????(1?2p)n???(1?2p)n???(1?2p)2n.
?22??22?442、解：设?表取一球的号码数。袋中球的总数为1?2???n?1n(n?1)，所以 2
《概率论》计算与证明题 120 P{??k}?k1n(n?1)2?2k,n(n?1)k?1,2,,?,n.
E???2k2n(n?1)(2n?1)1?k???(2n?1). )n(n?1)63k?1n(n?1nBn3、解：由于?是分布，所以应有?P{??n}??A??1，即AeB?1,A?e?B。又由已知
n!n?0n?0???Bn?1ABn?a，ABeB?a, ?B?a,A?e?B?e?a。 E???n??a，即AB?)!n!n?0(n?1n?0?4、解：设?表示抽出k张卡片的号码和，?i表示第i次抽到卡片的号码，则?因为是放回抽取，所以诸?i独立。由此得，对i?1,2,?,k。
??1??2????k，
11n1n(n?1)n?1E?i??j???j???，
nnj?1n22j?11E??E?1?E?2???E?k?k(n?1)；
2n11n(n?1)(2n?1)1E?i??j2????(n?1)(2n?1)，
nn66j?12n111D?i?E?i2??E?i?2?(n?1)(2n?1)?(n?1)2?(n2?1)，
6412D??D?1?D?2???D?n????1k(n2?1)。 125、证：
?P{??k}???P{??j}
k?1k?1j?k
?{??1}?P{??2}?P{??3}???P{??2}?P{??3???P{??3}??
??kP{??k}?E?.
k?1?.
1?|x???|6、解：E???xedx??2??(令t????(x??)??)
??
????t??2e?|t|dt???t2e?|t|dt???2??e?|t|dt?0????.
《概率论》计算与证明题 121 1D???(x??)2e??2???|x??|?(令t??(x??)??0)
??2?t2e?tdt??2t2(?e?t)0?2?2?te?tdt
????2?2t(?e?t)0?2?2?te?tdt?2?2(?e?t)0?2?2.
0????(x?a)2(y?a)2??7、证：?1?2的联合密度为p(x,y)?exp???， 222???2?∴
Emax(?1,?2)???max(x,y)p(x,y)dxdy
??dx?xp(x,y)dy??dx?yp(x,y)dy
??????x?x??（利用密度函数的积分值为1，减a再加a）
??dx?(x?a)p(x,y)dy??dx?(y?a)p(x,y)dy?a
??????x?x??（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号）
??dy?(x?a)p(x,y)dx??dy?(y?a)p(x,y)dx?a
??y??y?????a?2??a?
???12??e22?(y?a)22?2dy?(x?a)ey??(x?a)22?2dx (令(y?a)??t)
1??t?e???dt?a??????a???.
8、解：令B表“从乙袋摸一球为白球”，?表从甲袋所摸个球中白球数，则?取值0,1,?,c，服从超几何分布，且E??ca，考虑到若c?a，则当i?a?1,?,c时P{??i}?0；若c?b，则当
(a?b)i?c?b时P{??i}?0；而在条件概率定义中要求P(Ai)?P{??i}?0 由此得
P(B)?m!n(a,c)i?max(0,c?b)?P{??i}P{B|??i}??P{??i}i?0???i
????c
???i?1?P{??i}?iP{??i} ??????ci?0????ci?0
??E?1ac???????. ????c????c????c?a?b???1,从第i袋子中摸出白球??，则 ?0,从第i袋子中摸出黑球a，
(a?b)9、解：令?iP{?1?1}?
《概率论》计算与证明题 122 aa?1baa2?ab?aaP{?2?1}????。 ??a?ba?b?1a?ba?b?1(a?b)(a?b?1)a?b}?由此类推得P{?1?1a， i?1,2,?,n。又Sn??1??2????n，
(a?b)?ESn??E??i?1nna。 a?b
10、解：以?i表第i次测量值，由于受测量过程中许多随机因素的影响，测量值?i和物体真实重量a之间有偏差，?i是独立同分布的随机变量，并有E?i?a,D?i??2。测量记录的平均值记为?，则
??(?1????n)
1nn?2?21nnaE???E?i??a， D??2?D?i?2?。
ni?1nnni?1n平均值?的均值仍为a，但方差只有?i方差的所以以?作为物体的重量，则更近于真值。
11、证：设
1n1，而方差是描述随机变量对于其数学期望的离散程度，nf(x)是?的密度函数，则f(?x)?f(x)。由xf(x)是奇函数可得E??0，从而
E?E|?|?0。又由于x|x|f(x)是奇函数，得
E?|?|??x|x|f(x)dx?0?E?E|?|
???故|?|与?不相关。
由于?的密度函数是偶函数，故可选c?0使0?P{|?|?c}?1，亦有P{??c}?1，
?P{??c}P{|?|?c}?P{|?|?c}?P{??c,|?|?c}
其中等式成立是由于{|?|?c}?{?
12、证：E??c}。由此得|?|与?不独立。
1?????????xp(x,y)dxdy??xdx??111?x2?1?x2?1dy?0，同理E??0。
1?x2cov(?,?)?E???E?E???xdx??11?1?x2?ydy?0