函数与导数(高考真题+模拟新题)
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的定义域是________．
6－x－x2课标文数13.B1[2011·安徽卷] 【答案】 (－3,2)
【解析】 由函数解析式可知6－x－x2>0，即x2＋x－6<0，故－3 课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足： 对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)． 则称映射f具有性质P. 现给出如下映射： ①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V； ②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V； ③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V. 其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号) 课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 【答案】 ①③ 【解析】 设a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，则 λa＋(1－λ)b＝λ(x1，y1)＋(1－λ)(x2，y2)＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)， ①f1(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2－[λy1＋(1－λ)y2] ＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)＝λf1(a)＋(1－λ)f1(b)， ∴映射f1具有性质P； ②f2(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]2＋[λy1＋(1－λ)y2]， 2 λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x21 ＋y1 ) ＋ (1－λ)(x2 ＋ y2 )， ∴f2(λa＋(1－λ)b)≠λf2(a)＋(1－λ)f2(b)， ∴ 映射f2不具有性质P； ③f3(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2＋(λy1＋(1－λ)y2)＋1 ＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λf3(a)＋(1－λ)f3(b)， ∴ 映射f3具有性质P. 故具有性质P的映射的序号为①③. ?2x，x>0，? 课标文数8.B1[2011·福建卷] 已知函数f(x)＝?若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的 ??x＋1，x≤0. 值等于( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 课标文数8.B1[2011·福建卷] A 【解析】 由已知，得f(1)＝2； 又当x>0时，f(x)＝2x>1，而f(a)＋f(1)＝0， ∴f(a)＝－2，且a<0， ∴a＋1＝－2，解得a＝－3，故选A. 1 课标文数4.B1[2011·广东卷] 函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( ) 1－x A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) ?1－x≠0，? 课标文数4.B1[2011·广东卷] C 【解析】 要使函数有意义，必须满足?所以 ?1＋x>0，? 所求定义域为{x|x>－1且x≠1}，故选C. 课标文数13.B1[2011·安徽卷] 函数y＝ 课标文数16.B1[2011·湖南卷] 给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)＝n－k. (1)设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为________________； (2)设k＝4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为________． 课标文数16.B1[2011·湖南卷] (1)a(a为正整数) (2)16 【解析】 (1)由法则f是正整数到正整数的映射，因为k＝1，所以从2开始都是一一对应的，而1可以和任何一个正整数对应，故f在n＝1处的函数值为任意的a(a为正整数)； (2)因为2≤f(n)≤3，所以根据映射的概念可得到：1,2,3,4只能是和2或者3对应，1可以和2对应，也可以和3对应，有2种对应方法，同理，2,3,4都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数f的个数等于16. ??lgx，x＞0， 课标文数11.B1[2011·陕西卷] 设f(x)＝?x则f(f(－2))＝________. ?10，x≤0，? ??lgx，x>0， 课标文数11.B1[2011·陕西卷] －2 【解析】 因为f(x)＝?x－2<0，f(－2)＝ ?10，x≤0，? 102>0，f(102)＝lg102＝－2. 大纲文数16.B1[2011·四川卷] 函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题： ①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数； ②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数； ③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) 大纲文数16.B1[2011·四川卷] ②③④ 【解析】 本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解．对于①，如－2,2∈A，f(－2)＝f(2)，则①错误；对于②，当2x1＝2x2时，总有x1＝x2，故为单函数；对于③根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即③正确；对于④，函数f(x)在定义域上具有单调性，则函数为一一映射确定的函数关系，所以④正确． ?－x，x≤0，? 课标理数1.B1[2011·浙江卷] 设函数f(x)＝?2若f(α)＝4，则实数α＝( ) ?x，x>0.? A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 课标理数1.B1[2011·浙江卷] B 【解析】 当α≤0时，f(α)＝－α＝4，α＝－4； 当α＞0，f(α)＝α2＝4，α＝2. 4 课标文数11.B1[2011·浙江卷] 设函数f(x)＝，若f(α)＝2，则实数α＝________. 1－x 4 课标文数11.B1[2011·浙江卷] －1 【解析】 ∵f(α)＝＝2，∴α＝－1. 1－α 大纲理数2.B2[2011·全国卷] 函数y＝2x(x≥0)的反函数为( ) 2xx2 A．y＝(x∈R) B．y＝(x≥0) 44 C．y＝4x2(x∈R) D．y＝4x2(x≥0) y2 大纲理数2.B2[2011·全国卷] B 【解析】 由y＝2x得x＝，∵x≥0，∴y≥0，则函数 4 2x 的反函数为y＝(x≥0)．故选B. 410 － － － －2, 大纲文数2.B2[2011·全国卷] 函数y＝2x(x≥0)的反函数为( ) 2xx2 A．y＝(x∈R) B．y＝(x≥0) 442 C．y＝4x(x∈R) D．y＝4x2(x≥0) y2 大纲文数2.B2[2011·全国卷] B 【解析】 由y＝2x得x＝，∵x≥0，∴y≥0，则函数 4 2x 的反函数为y＝(x≥0)．故选B. 4 1?x 大纲理数7.B2[2011·四川卷] 已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝??2?＋1，则f(x)的反函数的图象大致是( ) 图1－2 1?x 大纲理数7.B2[2011·四川卷] A 【解析】 当x>0时，由y＝??2?＋1可得其反函数为y＝1 log(x－1)(1 课标理数8.B3[2011·北京卷] 设A(0,0)，B(4,0)，C(t＋4,4)，D(t,4)(t∈R)．记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N(t)的值域为( ) A．{9,10,11} B．{9,10,12} C．{9,11,12} D．{10,11,12} 课标理数2.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 － C．y＝－x2＋1 D．y＝2|x| 课标理数2.B3，B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数；C选项中，y＝－x2＋1是偶函数， 1?|x|－ 但在(0，＋∞)上是减函数；D选项中，y＝2|x|＝?但在(0，＋∞)上是减函数．故?2?是偶函数，选B. 课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 － C．y＝－x2＋1 D．y＝2|x| 课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数；C选项中，y＝－x2＋1是偶函数， 1?|x|－ 但在(0，＋∞)上是减函数；D选项中，y＝2|x|＝?但在(0，＋∞)上是减函数．故?2?是偶函数，选B. 课标数学2.B3[2011·江苏卷] 函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________． 1 －，＋∞? 课标数学2.B3[2011·江苏卷] ??2? 【解析】 因为y＝log5x为增函数，故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为?－1，＋∞?. ?2? 课标文数12.B3，B7[2011·天津卷] 已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________． 课标文数12.B3，B7[2011·天津卷] 18 【解析】 ∵log2a＋log2b＝log2ab≥1， ∴ab≥2， ∴3a＋9b＝3a＋32b≥23a·32b＝23a2b≥2322ab＝18. 大纲理数5.B3[2011·重庆卷] 下列区间中，函数f(x)＝|ln?2－x?|在其上为增函数的是( ) 4－1，? A．(－∞，1] B.?3?? 3 0，? D．[1,2) C.??2?＋ 课标文数11.B4，B5[2011·安徽卷] 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2 －x，则f(1)＝________. 课标文数11.B4，B5[2011·安徽卷] 【答案】 －3 【解析】 法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x) ＝ 2x2－x， ∴f(1)＝－f(－1) ＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3. 法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x) ＝ 2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3. 课标理数3.B4，B5[2011·安徽卷] 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x) ＝ 2x2 －x，则f(1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 课标理数3.B4，B5[2011·安徽卷] A 【解析】 法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0 2 时，f(x) ＝ 2x－x， ∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A. 法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x) ＝ 2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3，故选A. 大纲理数9.B4[2011·全国卷] 设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，5 －?＝( ) 则f??2? 11A．－ B．－ 2411C. D. 42 5??1??1?大纲理数9.B4[2011·全国卷] A 【解析】 因为函数的周期为2，所以f??2?＝f?2＋2?＝f?2?5511 －?＝－f??＝－，故选A. ＝，又函数是奇函数，∴f??2??2?22 大纲文数10.B4[2011·全国卷] 设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，5 －?＝( ) 则f??2? 11A．－ B．－ 2411C. D. 42 5??1??1?大纲文数10.B4[2011·全国卷] A 【解析】 因为函数的周期为2，所以f??2?＝f?2＋2?＝f?2?5511 －?＝－f??＝－，故选A. ＝，又函数是奇函数，所以f??2??2?22 课标理数9.B4[2011·福建卷] 对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( ) ．．．．．．A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 课标理数9.B4[2011·福建卷] D 【解析】 由已知，有f(1)＝asin1＋b＋c，f(－1)＝－asin1－b＋c， ∴ f(1)＋f(－1)＝2c， ∵ c∈Z，∴ f(1)＋f(－1)为偶数， 而D选项给出的两个数，一个是奇数，一个是偶数，两个数的和为奇数，故选D.