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课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：y＝x2，实
4
22
数p，q满足p－4q≥0，x1，x2是方程x－px＋q＝0的两根，记φ(p，q)＝max{|x1|，|x2|}．
1?p0，p2(1)过点A?对线段AB上的任一点Q(p，q)，40?(p0≠0)作L的切线交y轴于点B.证明：?|p0|
有φ(p，q)＝；
2
(2)设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2－4b>0，a≠0.过M(a，b)作L的两条切线l1，l2，
1?12??p1，p2p，切点分别为E?，E′41???24p2?，l1，l2与y轴分别交于F、F′.线段EF上异于两端点
|p1|
的点集记为X.证明：M(a，b)∈X?|p1|>|p2|?φ(a，b)＝；
2
?15?
y≤x－1，y≥?x＋1?2－?.当点(p，(3)设D＝??x，y??q)取遍D时，求φ(p，q)的最小值(记4?4??
为φmin)和最大值(记为φmax)．
11
课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 【解答】 (1)证明：切线l的方程为y＝p0x－p2.
240
|p|＋p2－4q|p|＋?p－p0?2?Q(p，q)∈AB有φ(p，q)＝＝.
22
p＋p0－pp0|p0|
当p0>0时，0≤p≤p0，于是φ(p，q)＝＝＝；
222
－p＋p－p0－p0|p0|
当p0<0时，p0≤p≤0，于是φ(p，q)＝＝＝.
222
11112
(2)l1，l2的方程分别为y＝p1x－p21，y＝p2x－p2. 2424
p1＋p2p1p2?
求得l1，l2交点M(a，b)的坐标??2，4?. 由于a2－4b>0，a≠0，故有|p1|≠|p2| . ①先证：M(a，b)∈X?|p1|>|p2|. (?)设M(a，b)∈X.
p1＋p2当p1>0时，0< 2 |p1|>|p2|； p1＋p2 当p1<0时，p1<<0?2p1 2 |p1|>|p2|. p2?p1＋p2p2(?)设|p1|>|p2|，则?<1?－1<<1?0<<2. ?p1?p1p1 p1＋p2 当p1>0时，0< 2 p1＋p2p1<<0， 2 注意到M(a，b)在l1上，故M(a，b)∈X. |p1| ②次证：M(a，b)∈X?φ(a，b)＝. 2 |p1| (?)已知M(a，b)∈X，利用(1)有φ(a，b)＝. 2 |p1| (?)设φ(a，b)＝，断言必有|p1|>|p2|. 2 若不然，|p1|<|p2|.令Y是l2上线段E′F′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式① |p2||p1| M(a，b)∈Y.再由(1)得φ(a，b)＝≠，矛盾．故必有|p1|>|p2|.再由等价式①，M(a，b)∈X. 22 |p1| 综上，M(a，b)∈X?|p1|>|p2|?φ(a，b)＝. 2 15 (3)求得y＝x－1和y＝(x＋1)2－的交点Q1(0，－1)，Q2(2,1)．而y＝x－1是L的切点为 44 Q2(2,1)的切线，且与y轴交于Q1(0，－1)，由(1)?Q(p，q)∈线段Q1Q2，有φ(p，q)＝1. p＋p2－4q151225当Q(p，q)∈L1：y＝(x＋1)－(0≤x≤2)时，q＝(p＋1)－，∴h(p)＝φ(p，q)＝44442 p＋4－2p4－2p－13＝(0≤p≤2)，在(0,2)上，令h′(p)＝＝0得p＝，由于h(0)＝h(2)＝1， 2224－2p3?5 h??2?＝4， 5 ∴h(p)＝φ(p，q)在[0,2]上取得最大值hmax＝. 4 15 ?(p，q)∈D，有0≤p≤2，(p＋1)2－≤q≤p－1， 44 p＋p2－4q 故φ(p，q)＝≤ 215?p＋1?2－?p＋p2－4?4??4 2 p＋4－2p5＝≤hmax＝， 24 p＋p2－4qp＋p2－4?p－1?p＋?p－2?2p＋2－p φ(p，q)＝≥＝＝＝1， 2222 5 故φmin＝1，φmax＝. 4 1 课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：y＝x2，实 4 22 数p，q满足p－4q≥0，x1，x2是方程x－px＋q＝0的两根，记φ(p，q)＝max{|x1|，|x2|}． 1?p0，p2(1)过点A?对线段AB上的任一点Q(p，q)，40?(p0≠0)作L的切线交y轴于点B.证明：?|p0| 有φ(p，q)＝； 2 (2)设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2－4b>0，a≠0.过M(a，b)作L的两条切线l1，l2， 1?12??p1，p2切点分别为E?1，E′p2，p2，l1，l2与y轴分别交于F、F′.线段EF上异于两端点4?4??? |p1| 的点集记为X.证明：M(a，b)∈X?|p1|>|p2|?φ(a，b)＝； 2 ?15? y≤x－1，y≥?x＋1?2－?.当点(p，(3)设D＝??x，y??q)取遍D时，求φ(p，q)的最小值(记4?4?? 为φmin)和最大值(记为φmax)． 11 课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 【解答】 (1)证明：切线l的方程为y＝p0x－p2. 240 |p|＋p2－4q|p|＋?p－p0?2?Q(p，q)∈AB有φ(p，q)＝＝. 22 p＋p0－pp0|p0| 当p0>0时，0≤p≤p0，于是φ(p，q)＝＝＝； 222 －p＋p－p0－p0|p0| 当p0<0时，p0≤p≤0，于是φ(p，q)＝＝＝. 222 11112 (2)l1，l2的方程分别为y＝p1x－p2，y＝px－p. 2412242 p1＋p2p1p2??2，4?. 由于a2－4b>0，a≠0，故有|p1|≠|p2| . ①先证：M(a，b)∈X?|p1|>|p2|. (?)设M(a，b)∈X. p1＋p2 当p1>0时，0< 2 |p1|>|p2|； p1＋p2 当p1<0时，p1<<0?2p1 2 |p1|>|p2|. p2?p1＋p2p2(?)设|p1|>|p2|，则?<1?－1<<1?0<<2. ?p1?p1p1 p1＋p2 当p1>0时，0< 2 p1＋p2p1<<0， 2 注意到M(a，b)在l1上，故M(a，b)∈X. |p1| ②次证：M(a，b)∈X?φ(a，b)＝. 2 |p1| (?)已知M(a，b)∈X，利用(1)有φ(a，b)＝. 2 |p1| (?)设φ(a，b)＝，断言必有|p1|>|p2|. 2 若不然，|p1|<|p2|.令Y是l2上线段E′F′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式① |p2||p1| M(a，b)∈Y.再由(1)得φ(a，b)＝≠，矛盾．故必有|p1|>|p2|.再由等价式①，M(a，b)∈X. 22 |p1| 综上，M(a，b)∈X?|p1|>|p2|?φ(a，b)＝. 2 15 (3)求得y＝x－1和y＝(x＋1)2－的交点Q1(0，－1)，Q2(2,1)．而y＝x－1是L的切点为 44 Q2(2,1)的切线，且与y轴交于Q1(0，－1)，由(1)?Q(p，q)∈线段Q1Q2，有φ(p，q)＝1. p＋p2－4q151225当Q(p，q)∈L1：y＝(x＋1)－(0≤x≤2)时，q＝(p＋1)－，∴h(p)＝φ(p，q)＝44442 p＋4－2p4－2p－13＝(0≤p≤2)，在(0,2)上，令h′(p)＝＝0得p＝，由于h(0)＝h(2)＝1， 2224－2p 求得l1，l2交点M(a，b)的坐标?3?5 h??2?＝4， 5 ∴h(p)＝φ(p，q)在[0,2]上取得最大值hmax＝. 4 15 ?(p，q)∈D，有0≤p≤2，(p＋1)2－≤q≤p－1， 44 p＋p2－4q 故φ(p，q)＝≤ 215?p＋1?2－?p＋p2－4?4??4 2 p＋4－2p5＝≤hmax＝， 24 p＋p2－4qp＋p2－4?p－1?p＋?p－2?2p＋2－p φ(p，q)＝≥＝＝＝1， 2222 5 故φmin＝1，φmax＝. 4 课标文数21.H10，B9[2011·广东卷] 在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝－2交x轴于点A.设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO＝∠AOP. (1)当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程； (2)已知T(1，－1)．设H是E上动点，求|HO|＋|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标； (3)过点T(1，－1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点．求直线l1 的斜率k的取值范围． 课标文数21.H10，B9[2011·广东卷] 【解答】 (1)如图1－2(1)．设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q. ∵∠MPQ＝∠AOP，∴MP⊥l，且|MO|＝|MP|. 因此，x2＋y2＝|x＋2|，即 y2＝4(x＋1)(x≥－1)． ① 图1－3 E1：y＝4(x＋1)(x≥－1)； E2：y＝0，x<－1. 2 3 －，－1?.再过H作垂直当H∈E1时，过T作垂直于l的直线，垂足为T′，交E1于D??4?于l的直线，交l于H′. 因此，|HO|＝|HH′|(抛物线的性质)． ∴|HO|＋|HT|＝|HH′|＋|HT|≥|TT′|＝3(该等号仅当H′与T′重合(或H与D重合)时取得)． 当H∈E2时，则|HO|＋|HT|>|BO|＋|BT|＝1＋5>3. 3 －，－1?. 综合可得，|HO|＋|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为??4? (3)由图1－3知，直线l1的斜率k不可能为零． 设l1：y＋1＝k(x－1)(k≠0)． 4?14 ＋8＝0. 故x＝(y＋1)＋1，代入E1的方程得：y2－y－?kk?k? 4??4?216 因判别式Δ＝2＋4??k＋8?＝?k＋2?＋28>0， k 所以l1与E中的E1有且仅有两个不同的交点． 又由E2和l1的方程可知，若l1与E2有交点， k＋1k＋1?k＋1?1 则此交点的坐标为?且<－1.即当－ k2?k??k，0?， 从而l1与E有三个不同的交点． 1 －∞，－?∪(0，＋∞)． 因此，直线l1斜率k的取值范围是?2?? 课标理数22.B9，M3[2011·湖南卷] 已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x＋x. (1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由； (2)设数列{an}(n∈N*)满足a1＝a(a>0)，f(an＋1)＝g(an)，证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M. 课标理数22.B9，M3[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由h(x)＝x3－x－x知，x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，且h(1)＝－1<0，h(2)＝6－2>0，则x＝0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1,2)内有零点．因此，h(x)至少有两个零点． 111113 解法一：h′(x)＝3x2－1－x－，记φ(x)＝3x2－1－x－，则φ′(x)＝6x＋x－. 222242 当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至 33 多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ??<0，则φ(x)在?，1?内有零点，所以φ(x)在(0，＋ ?3??3? ∞)内有且只有一个零点．记此零点为x1，则当x∈(0，x1)时，φ(x)<φ(x1)＝0；当x∈(x1，＋∞)时，φ(x)>φ(x1)＝0. 所以，当x∈(0，x1)时，h(x)单调递减．而h(0)＝0，则h(x)在(0，x1]内无零点； 当x∈(x1，＋∞)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点． 综上所述，h(x)有且只有两个零点． 1113 x2－1－x－?，记φ(x)＝x2－1－x－，则φ′(x)＝2x＋x－. 解法二：由h(x)＝x?2??222 当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，从而φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)内也至多只有一个零点． 综上所述，h(x)有且只有两个零点． 3 (2)记h(x)的正零点为x0，即x0＝x0＋x0. (i)当a 3 而a32＝a1＋a1