2012数学备考 高考真题+模拟新题分类汇编：函数与导数(6)

5?3c＋10???v－15，0

??v＋15，c

103c①当0

3210

②当

3

50

当v＝c时，ymin＝.

c

课标数学17.B10[2011·江苏卷] 请你设计一个包装盒，如图1－4所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．

(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？

(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

图1－4

课标数学17.B10[2011·江苏卷] 本题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力．

60－2x

【解答】 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a＝2x，h＝＝2

2(30－x)，0＜x＜30.

(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800， 所以当x＝15时，S取得最大值．

(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x)， 由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.

当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．

h11此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.

a22

课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] 已知函数f(x)＝ex＋x.对于曲线y＝f(x)上横坐标成等差数列的三个点A、B、C，给出以下判断：

①△ABC一定是钝角三角形； ②△ABC可能是直角三角形； ③△ABC可能是等腰三角形； ④△ABC不可能是等腰三角形． 其中，正确的判断是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] B 【解析】 解法一：(1)设A、B、C三点的横坐标分别为x1，x2，x3(x1

∵ f′(x)＝ex＋1>0，

∴ f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

x1＋x3f?x1?＋f?x3?

∴ f(x1)

22

→→

∵ BA＝(x1－x2，f(x1)－f(x2))，BC＝(x3－x2，f(x3)－f(x2))，

→→∴ BA·BC＝(x1－x2)(x3－x2)＋(f(x1)－f(x2))(f(x3)－f(x2))<0， ∴ ∠ABC为钝角，判断①正确，②错；

(2)若△ABC为等腰三角形，则只需AB＝BC，即 (x1－x2)2＋(f(x1)－f(x2))2＝(x3－x2)2＋(f(x3)－f(x2))2， ∵ x1，x2，x3成等差数列，即2x2＝x1＋x3， 且f(x1)

只需 f(x2)－f(x1)＝f(x3)－f(x2)，即2f(x2)＝f(x1)＋f(x3)，

x1＋x3?f?x1?＋f?x3?x1＋x3?f?x1?＋f?x3?即 f?＝，这与f?相矛盾，

22?2??2?<

∴△ABC不可能是等腰三角形，判断③错误，④正确，故选B. 解法二：(1)设A、B、C三点的横坐标为x1，x2，x3(x1

图1－3

x

∵ f′(x)＝e＋1>0，

∴ f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，画出f(x)的图象(大致)．

x1＋x3f?x1?＋f?x3?

∴ f(x1)

22

如图1－2，设直线AB、BC的倾斜角分别为α和β，由0

π

得α<β<，故∠ABC＝π－(β－α)为钝角，判断①正确，②错误；

2

由x1，x2，x3成等差数列，得x2－x1＝x3－x2， 若△ABC为等腰三角形，只需AB＝BC，则 f(x2)－f(x1)＝f(x3)－f(x2)，

由0

课标文数22.B11，B12[2011·福建卷] 已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2(e＝2.71828?是自然对数的底数)．

(1)求实数b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m

?1，e??都有公共点？若存在，曲线y＝f(x)?x∈求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，??e??

说明理由．

课标文数22.B11，B12[2011·福建卷] 【解答】 (1)由f(e)＝2得b＝2. (2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axlnx. 从而f′(x)＝alnx. 因为a≠0，故：

①当a>0时，由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得0

②当a<0时，由f′(x)>0得01.

综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)； 当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xlnx，f′(x)＝lnx.

1?

由(2)可得，当x在区间??e，e?内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 1?1，1? x 1 e (1，e) e?e? 0 f′(x) － ＋ 2f(x) 2 2－ 单调递减 极小值1 单调递增 e1?2又2－<2，所以函数f(x)(x∈??e，e?)的值域为[1,2]． e

?m＝1，??1，e??都有据此可得，若?相对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)?x∈??e????M＝2公共点；

?1，e??都没有公共并且对每一个t∈(－∞，m)∪(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)?x∈??e??

点．

综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t∈[m，M]，

?1，e??都有公共点． 直线y＝t与曲线y＝f(x)?x∈??e??

课标理数4.B11[2011·江西卷] 若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为( ) A．(0，＋∞)

B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0)

42?x－2??x＋1?

课标理数4.B11[2011·江西卷] C 【解析】 方法一：令f′(x)＝2x－2－＝>0，

xx

又∵f(x)的定义域为{x|x>0}，∴(x－2)(x＋1)>0(x>0)，解得x>2.故选C.

4

方法二：令f′(x)＝2x－2－>0，由函数的定义域可排除B、D，取x＝1代入验证，可排

x

除A，故选C.

课标文数4.B11[2011·江西卷] 曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )

1

A．1 B．2 C．e D. e

课标文数4.B11[2011·江西卷] A 【解析】 y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex|x＝0＝e0＝1.故选A.

课标文数4.B11[2011·山东卷] 曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )

A．－9 B．－3 C．9 D．15 课标文数4.B11[2011·山东卷] C 【解析】 因为y′＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，所以与y轴交点的纵坐标为9.

课标理数19.B11，D4[2011·陕西卷]

图1－11

如图1－11，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.现从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；?；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，?，n)．

(1)试求xk与xk－1的关系(2≤k≤n)； (2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋?＋|PnQn|. 课标理数19.B11，D4[2011·陕西卷] 【解答】 (1)设Pk－1(xk－1,0)，由y′＝ex得Qk－1(xk－1，exk－1)点处切线方程为y－exk－1＝exk－1(x－xk－1)， 由y＝0得xk＝xk－1－1(2≤k≤n)．

(2)由x1＝0，xk－xk－1＝－1，得xk＝－(k－1)，

－－

所以|PkQk|＝exk＝e(k1)，于是

Sn＝|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋?＋|PnQn|

－－

1－ene－e1n－1－2－(n－1)

＝1＋e＋e＋?＋e＝. －＝1－e1e－1

课标文数19.B11，D4[2011·陕西卷] 如图1－12，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex

于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复

图1－12

上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；?；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，?，n)．

(1)试求xk与xk－1的关系(2≤k≤n)； (2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋?＋|PnQn|. 课标文数19.B11，D4[2011·陕西卷] 【解答】 (1)设Pk－1(xk－1,0)，由y′＝ex得Qk－1(xk－1，exk－1)点处切线方程为y－exk－1＝exk－1(x－xk－1)，

由y＝0得xk＝xk－1－1(2≤k≤n)．

(2)由x1＝0，xk－xk－1＝－1，得xk＝－(k－1)，

－－

所以|PkQk|＝exk＝e(k1)，于是

Sn＝|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋?＋|PnQn|

－－

1－ene－e1n－1－2－(n－1)

＝1＋e＋e＋?＋e＝. －＝1－e1e－1

?2＋ax－1?＝2.则a＝( )

大纲理数3.B11[2011·重庆卷] 已知lim ?3x?x→∞?x－1?A．－6 B．2 C．3 D．6

1a－

xa?2＋ax－1?＝lim ax－1＝lim

大纲理数3.B11[2011·重庆卷] D 【解析】 lim ＝??3x?x→∞3x33x→∞?x－1x→∞

＝2，即a＝6.

大纲文数3.B11[2011·重庆卷] 曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为( ) A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x

大纲文数3.B11[2011·重庆卷] A 【解析】 y′＝－3x2＋6x， ∵点(1,2)在曲线上，∴所求切线斜率k＝y′|x＝1＝3.

由点斜式得切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.故选A.

ex

课标文数18.B12[2011·安徽卷] 设f(x)＝，其中a为正实数．

1＋ax24

(1)当a＝时，求f(x)的极值点；

3

(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围． 课标文数18.B12[2011·安徽卷] 本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力．

2

x1＋ax－2ax【解答】 对f(x)求导得f′(x)＝e.① ?1＋ax2?24

(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，

331

解得x1＝，x2＝.

22

结合①可知 13?－∞，1? ?1，3? ?3，＋∞? x 2?22??22??2?0 0 f′(x) ＋ － ＋ f(x) ? ? ? 极大值 极小值 31所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．

22

(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0

课标理数16.B12[2011·安徽卷]

xe

设f(x)＝，其中a为正实数．

1＋ax24

(1)当a＝时，求f(x)的极值点；

3

(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围． 课标理数16.B12[2011·安徽卷] 【解析】 本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解一元二次不等式等基本知识，考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力．

【解答】 对f(x)求导得

2

x1＋ax－2axf′(x)＝e.① ?1＋ax2?24

(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，

331

解得x1＝，x2＝.

22

结合①，可知 13?－∞，1? ?1，3? ?3，＋∞? x 2?22??22??2?0 0 f′(x) ＋ － ＋ f(x) ? ? ? 极大值 极小值 31所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．

22