2012数学备考 高考真题+模拟新题分类汇编：函数与导数(5)

②假设当n＝k(k≥1)时，ak

3

a3k＋1＝ak＋ak

(ii)当a≥x0时，由(1)知，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，则h(a)≥h(x0)＝0，

3

即a3≥a＋a.从而a32＝a1＋a1＝a＋a≤a，即a2≤a.由此猜测：an≤a.下面用数学归纳法证明．

①当n＝1时，a1≤a显然成立．

3

②假设当n＝k(k≥1)时，ak≤a成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1＝ak＋ak≤a＋a≤a知，ak＋1≤a.

因此，当n＝k＋1时，ak＋1≤a成立． 故对任意的n∈N*，an≤a成立．

综上所述，存在常数M＝max{x0，a}，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M.

1

课标理数12.B9[2011·课标全国卷] 函数y＝的图像与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图

1－x

象所有交点的横坐标之和等于( )

A．2 B．4 C．6 D．8

113

课标理数12.B9[2011·课标全国卷] D 【解析】 当x＝时，y＝＝2；当x＝时，y

212

1－2

1＝＝－2.

31－2

所以函数图象如图所示，所以有8个根，且关于点(1,0)对称，所以所有根的总和为8.

图1－5

课标文数10.B9[2011·课标全国卷] 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )

11－，0? B.?0，? A.??4??4?11?13， D.?，? C.??42??24?1?1?1?＝e1－1>0， 课标文数10.B9[2011·课标全国卷] C 【解析】 因为f?＝e－2<0，f?4?4?2?2

1??1?所以f?f?2?<0， ?4?·

又因为函数y＝ex是单调增函数，y＝4x－3也是单调增函数， 所以函数f(x)＝ex＋4x－3是单调增函数，

11?所以函数f(x)＝ex＋4x－3的零点在??4，2?内．

课标理数16.B9[2011·山东卷] 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.

课标理数16.B9[2011·山东卷] 2 【解析】 本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为21>loga2，b－3<1

课标文数16.B9[2011·山东卷] 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.

课标文数16.B9[2011·山东卷] 2 【解析】 本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为2＜a＜3，所以loga2＜1＝logaa＜loga3，因为3＜b＜4，所以b－2>1>loga2，b－3＜1＜loga3，所以f(2)·f(3)＝ (loga2＋2－b)·(loga3＋3－b)＜0，所以函数的零点在(2,3)上，所以n＝2.

课标理数6.B9[2011·陕西卷] 函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内( ) A．没有零点

B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点 课标理数6.B9[2011·陕西卷] B 【解析】 在同一个坐标系中作出y＝x与y＝cosx的图象如图，

图1－2

由图象可得函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)上只有一个零点．

课标文数6.B9[2011·陕西卷] 方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内( ) A．没有根

B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根 课标文数6.B9[2011·陕西卷] C 【解析】 如图1－3所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根，故答案为C.

图1－3

??2x＋a，x<1，

课标数学11.B9[2011·江苏卷] 已知实数a≠0，函数f(x)＝? 若f(1－a)

?－x－2a，x≥1，?

＝f(1＋a)，则a的值为________．

3

课标数学11.B9[2011·江苏卷] － 【解析】 当a>0时，f(1－a)＝2－2a＋a＝－1－3a＝

4

33

f(1＋a)，a＝－<0，不成立；当a<0时，f(1－a)＝－1＋a－2a＝2＋2a＋a＝f(1＋a)，a＝－.

24

课标理数6.B10[2011·北京卷] 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：

?

分钟)为f(x)＝?c

?A，x≥A

c

，x＜A，x

(A，c为常数). 已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第

A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )

A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16

课标理数6.B10[2011·北京卷] D

?f?4?＝4＝30，

【解析】 由题意可知?c

f?A?＝＝15，?A

c

解得

??c＝60，

?故应选D. ?A＝16，?

课标文数7.B10，E6[2011·北京卷] 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800

x

元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均

8

到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )

A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 课标文数7.B10，E6[2011·北京卷] B 【解析】 记平均到每件产品的生产准备费用与仓

x

800＋×x×1

8800x800x800x

储费用之和为f(x)，则f(x)＝＝＋≥2×＝20，当且仅当＝，即x

xx8x8x8

＝80件(x>0)时，取最小值，故选B.

课标文数14.B10[2011·北京卷] 设A(0,0)，B(4,0)，C(t＋4,3)，D(t,3)(t∈R)．记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)＝________；N(t)的所有可能取值为________．

课标文数14.B10[2011·北京卷] 6 6,7,8 【解析】 显然四边形ABCD内部(不包括边界)的整点都在直线y＝k(k＝1,2)落在四边形ABCD内部的线段上，由于这样的线段长等于4，所以每条线段上的整点有3个或4个，所以6＝2×3≤N(t)≤2×4＝8.

当四边形ABCD的边AD上有4个整点时，N(t)＝6；

当四边形ABCD的边AD上有1或2个整点时，N(t)＝8或7. 所以N(t)的所有可能取值为6,7,8.

课标理数18.B10，B12[2011·福建卷] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销

a

售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3

x－3

a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

a

课标理数18.B10，B12[2011·福建卷] 【解答】 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，

2

a＝2.

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量

2y＝＋10(x－6)2. x－3

所以商场每日销售该商品所获得的利润

22

f(x)＝(x－3)?x－3＋10?x－6??＝2＋10(x－3)(x－6)2,3

??

从而f′(x)＝10[?x－6?＋2?x－3??x－6?] ＝30(x－4)(x－6)．

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) 0 f′(x) ＋ － f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

课标理数17.B10[2011·湖北卷] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)

课标理数17.B10[2011·湖北卷] 【解答】 (1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，

1a＝－，?3?200a＋b＝0，

再由已知得?解得

200?20a＋b＝60，?

b＝.3

2

???

60， 0≤x＜20，??

故函数v(x)的表达式为v(x)＝?1

?200－x?，20≤x≤200.??360x， 0≤x<20，??

(2)依题意并由(1)可得f(x)＝?1

x?200－x?，20≤x≤200.??3

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；

11x＋?200－x??210000

当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤?33?2?＝3. 当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．

10000

所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值. 310000

综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333.

3

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

课标文数19.B10[2011·湖北卷] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)

课标文数19.B10[2011·湖北卷] 【解答】 (1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.

1a＝－，?3?200a＋b＝0，

再由已知得?解得

200?20a＋b＝60，?

b＝.3

???

故函数v(x)的表达式为

60， 0≤x＜20，??v(x)＝?1

??3?200－x?， 20≤x≤200.

(2)依题意并由(1)可得

60x， 0≤x＜20，??f(x)＝?1

??3x?200－x?， 20≤x≤200.

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；

11x＋?200－x??210000

当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤?33?2?＝3. 当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．

10000

所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值. 310000

综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333.

3

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

图1－9

课标理数20.B10[2011·湖南卷] 如图1－9，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S

11

成正比，比例系数为；(2)其它面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量，

102

3

当移动距离d＝100，面积S＝时，

2

(1)写出y的表达式；

(2)设0

3

课标理数20.B10[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为20

1

|v－c|＋，故

2

151003

|v－c|＋?＝(3|v－c|＋10)． y＝v?2?v?20

(2)由(1)知，

5?3c＋10?5

当0

当c