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解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N＝5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.
上面已经列出乙不能获胜的N的取值. 如果N＝1，很明显乙必获胜.
如果N＝3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.
考虑N＝7，11，13是本题最困难的情况.注意到1001＝7×11×13，乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2，这个六位数，能被7，11或13整除，乙就能获胜.
综合起来，使乙能获胜的N是1，3，7，9，11，13.
记住，1001＝7×11×13，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.
练 习
1、 32x5y能同时被2、3、5整除，求所有满足条件的五位数。 解：32250，32550，32850。
2、 已知72∣x931y，求满足条件的五位数。 解：39312。提示：注意x，y都是小等于9的数。
3、 已知五位数154xy能被8和9整除，求x＋y的值。 解：8。提示：同样注意x，y小等于9。 4、 求能被26整除的六位数x1991y。 解：819910，119912，719914，619918。 5、 求能被33整除的六位数x8919y。 解：489192、789195。
6、 王老师为班级买了28个价格相同的圆规，共付人民币1□6.□8元，已知□处的数字相同，问每个圆规多少元？
解：4.51元。
7、 求同时能够被9、25、8整除的七位数x1992yz。 解：6199200。
8、 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？ 解：90。
9、 个位是6，而且能被3整除的五位数有多少个？
解：3000个。（整除性问题中有部分问题与计数问题结合在一起，下面是两个简单的例子，其中后一个例子中，用到了容斥原理）。
10、 分母是1001的最简真分数有多少个？ 解：994个。
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2. 质数、合数和分解质因数
一．基本概念和知识
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。 合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数（因数），那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何
一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=a11r?a2r2?a3r3??anrn，其中a
1、2、3
aa??an都是合数N的质因数，且a1
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
两个不同的质数肯定互质，但两个合数也会互质，比如4和9；还有任意两个连续自然数都是互质的。
二、基本方法：
1、熟记100以内的所有质数，这是小学数学的基本功： 2、100以内的质数的特征：都是6的倍数前后的数； 3、分解质因数是重要工具，熟练使用；
4、求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×??×(rn+1)
例题
例1 1～100这100个自然数中有哪些是质数？ 分析与解：
1既不是质数也不是合数。
2是质数，留下来，后面凡能被2整除的数都是合数，都划去； 3是质数，留下来，后面凡能被3整除的数都是合数，都划去； 类似地，把5留下来，后面凡是5的倍数的数都划去； 把7留下来，后面凡是7的倍数的数都划去。
经过以上的筛选，划去的都是合数，余下26个数，除1外，剩下的25个都是质数。这样，我们便得到了100以内的质数表：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41， 43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。 这些质数同学们应当熟记！
细心的同学可能会注意到，以上只划到7的倍数，为什么不继续划去11，13，?的倍数呢？事实上，这些倍数已包含在已划去的倍数中。例如，100以内11的倍数应该是
11×A≤100（其中A为整数），
22
显然，A只能取2，3，4，5，6，7，8，9。因为4=2，6=2×3，8=23，9=3，所以A必是2，3，5，7之一的倍数。由此推知，11的倍数已全部包含在2，3，5，7的倍数中，已在前面划去了。
要判断一个数N是质数还是合数，根据合数的定义，只要用从小到大的自然数2，3，4，5，6，7，8，?，N-1去除N，其中只要有一个自然数能整除N，N就是合数，否则就是质数。但这样太麻烦，因为除数太多。能不能使试除的数少一点呢？由例1知，只要用从小到大的质数去除N就可以了。例2给出的判别方法，可以使试除的数进一步减少。
例2 判断269，437两个数是合数还是质数。
分析与解：对于一个不太大的数N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平2
方数K，再写出K以内的所有质数。如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能整除N，那么N是合数。
2
因为269＜17=289。17以内质数有2，3，5，7，11，13。根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2，5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。
2
因为437＜21=441。21以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。容易判断437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19试除437，得到437÷19=23，所以437是合数。
8
对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例2的方法的优越性。判别269，用2～268中所有的数试除，要除267个数；用2～268中的质数试除，要除41个数；而用例2的方法，只要除6个数。
例3 判断数1111112111111是质数还是合数？
分析与解：按照例2的方法判别这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。
根据整数的意义，这个13位数可以写成： 1111112111111
=1111111000000+1111111 =1111111×（1000000+1） =1111111×1000001。
由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合数。 这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。 例4：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 ∵ 210=2×3×5×7
∴ 可知这三个数是5、6、7。
例5：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17＋23=11＋29=3＋37
∵ 17×23==391＞11×29=319＞3×37=111， ∴ 所求的最大值是391。
例6：自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。
因为它除了约数1和它本身，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例7：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵ 5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5。
这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（=3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。
这样，14×15=210=5×6×7。
∴ 这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。
例8：有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560。求这三个自然数。
分析 先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560，40×40×40=64000，远大于42560。因此，要求的三个自然数在30~40之间。
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解：42560=2×5×7×19
5
=2×（5×7）×（19×2） =32×35×38（合题意）
∴ 要求的三个自然数分别是32、35和38。
例9：有三个自然数a、b、c，已知a×b=6，b×c=15，a×c=10。求a×b×c是多少？ 解：∵ 6=2×3，15=3×5，10=2×5。 ∴ (a×b)×(b×c)×(a×c) =(2×3)×(3×5)×(2×5)
222222
∴ a×b×c=2×3×5
22
∴ (a×b×c)=(2×3×5) ∴ a×b×c=2×3×5=30
222222222
在例9中有a=2,b=3,c=5，其中2=4，3=9，5=25，像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
222222
如：1=1，2=4，3=9，4=16，?，11=121，12=144，?其中1，4，9，16，?，121，144，?都叫做完全平方数。
下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。
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例：把下列各完全平方数分解质因数。 9，36，144，1600，275625。
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解：9=3 36=2×3 144=3×2 1600=2×5 275625=3×5×7 可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。
反之，如果把一个自然数分解质因数之后 ，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。
2222
如上例中，36=6，144=12，1600=40，275625=525。
例10：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个完全平方数。 分析 ∵ a与1080的乘积是一个完全平方数。
∴ 乘积分解质因数后，各质因的指数一定全是偶数。
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解：∵ 1080×a=2×3×5×a，
33
又∵ 1080=2×3×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数。 ∴ a必含质因数2、3、5，因此，a最小为2×3×5。 ∴ 1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400。 答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。 例11：360共有多少个约数？
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分析 360=2×3×5
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为了求360有多少个约数，我们先来看3×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别剩以1、2、2、2，
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即得到2×3×5（=360）的所有约数。为了求3×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些
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约数分别乘以1、3、3，即得到3×5的所有约数。
2
解：记5的约数个数为Y1，3×5的约数个数为Y2。
32
360（=2×3×5）的约数个数为Y3。 由上面的分析可知： Y3=4×Y2，Y2=3×Y1，
显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。 因此Y3=4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。 所以，360共有24个约数。
2332
Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、2、2”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360=2×3×5
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中质因数2的个数加1；Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、3”中数的个数，也就是2×3×5中质因数3的个数
32
加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即2×3×5中质因数5的个数加1。因此
Y3=（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）=24。
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对于任何一个合数，用类似于2×3×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：
一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘积。 例12：求240的约数的个数。
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解：∵ 240=2×3×5，
∴ 240的约数的个数是：
（4＋1）×（1＋1）×（1＋1）=20个， ∴ 240有20个约数。
请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？ 例13 1×2×3×?×100的末尾有连续多少个零？ 解：24个。
例14 1×2×3×?×999×1000的末尾有连续多少个零？ 解：249个。
例15 把若干个自然数1、2、3?乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？
解：55。
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