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也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：
两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即， （a，b）×[a，b]=a×b。
例17 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。 解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。
例18 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。 分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”
改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。 30=1×30=2×15=3×10=5×6，
由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是
7×5=35和7×6=42。
例19已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。 分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。
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再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=2×3×5，所以c=15。
因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”
当a=60时，
b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷60=24； 当a=120时，
b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷120=12。
所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。
练习
学生__________
一、填空
1、甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公因数是（ ）． 2、36和60相同的质因数有（ ），它们的积是（ ），也就是36和60的（ ）． 3、（ ）的两个数，叫做互质数．
4、自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公因数是（ ）． 二、判断（对的打“√”，错的打“×” ）．
1、互质数是没有公约数的两个数． （ ） 2、成为互质数的两个数，一定是质数． （ ） 3、只要两个数是合数，那么这两个数就不能成为互质数． （ ） 4、两个自然数分别除以它们的最大公因数，商是互质数． （ ） 三、解答题：
1． 五个连续自然数的和能分别被2、3、4、5、6整除，求这样的最小的一组数。 [2、3、4、5、6]＝60 60÷5＝12?五个连续自然数的中间数 ∴这五个连续的自然数为：10，11，12，13，14 答：这样的最小一组数是：10，11，12，13，14。
2． 把14、33、35、30、75、39、143、169这八个数平均分成两组，使第一组数的乘积与第二组数的乘积相等。
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14＝2×7 33＝3×11 30＝2×3×5 75＝3×5×5 39＝3×13 143＝11×13 169＝13×13 35＝5×7
169×33×14×75＝39×143×30×35 ????.30×35 ???14×75
3．甲、乙两个数的最小公倍数使90，乙丙两数的最小公倍数使105，甲丙两数的最小公倍数是126。那么，甲数是多少？
∵甲乙的最小公倍数90和甲丙的最小公倍数126中都含有甲数，∴排除乙丙的最小公倍数可求出甲。 （90，126）＝18 答：甲数是18。
4．一堆桔子，如果按10个或8个或7个一小堆地分，都多一个。这堆桔子至少有多少个？ [10、9、8、7]＝2520 2520＋1＝2521（个） 答：这堆桔子至少有2521个。
5． 有三根木条，第一根地长度是第二根的3倍，是第三根的一半。第三根比第二根长280厘米，把这三根木条锯成尽可能长，并且每根都相等的小段，不能有剩余。一共可锯成多少段？
把第二根木条长度看成是1份，则第一根木条长度是3份，第三根木条长度是6份。 280÷（6－1）＝56（厘米）?第二根 （56，168，336）＝56 56×3＝168（厘米）????第二根 . . . 56×6＝336（厘米）??第三根 . . . 1段 3段 6段 1＋3＋6＝10（段） 答：一共可锯成10段。
6． 6.两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？ 根据：两个数的最大公因数×最小公倍数＝这两个数的积 4×252÷28=36
答：另一个数是36 7． 已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。
根据：两个数÷最小公倍数后所得的商互质，所以两个数的积÷31÷31的商就是两个互质的数的积
5766÷31÷31=6=1×6 =2×3
所以，这两个数分别是：31，186或62，93
8． 已知两个自然数的和是54，并且它们的最小公倍数与最大公约数之间的差为114，求这两个数。 最小公倍数与最大公约数是倍数关系，所以他们的差也是最大公约数的倍数 同样，两个数的和也是最大公约数的倍数
所以，他们的最大公约数应该是54和114的公约数
（54，114）=6 54÷6=9 （这应该是两个数除以最大公约数的商的和，这两个商要互质） 114÷6=19 19+1=20 （这是最小公倍数除以最大公约数的商，这是两个数除以最大公约数的商的积）
分析得，两个数除以最大公约数的商分别是4，5.所以这两个数分别是24，30.
9． 将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块.问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）
解： 首先将单位换算成厘米，长357厘米、宽105厘米、高84厘米。
要用料最省且小木块的体积总和最大，就是没有损耗，最好的情况是长、宽、高正好是小正方体的边长的倍数。
这样，我们就可以求长、宽、高的最大公约数来作为小正方体的边长。 （357，105，84）=21（厘米）
答：正方体的边长是21厘米时，用料最省且小木块的体积总和最大。
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10. 写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但其中任意两个数都不互质。
6，10，15或10，12，15或10，15，18
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4. 同余问题
在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，
，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样
就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7） “”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质 （1） （2）若 （3）若 （4）若性）
（5）若 如果 那么
（
的差一定能被k整除） （称为同余的可乘性） ，则
，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：
（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） ，那么，，
，则，则
（这称作同余的对称性）
（这称为同余的传递性） （
）（这称为同余的可加性、可减
这是为什么呢？
k也就是
的公约数，所以有
下面我们应用同余的这些性质解题。
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例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答：
假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以
，
，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的
最大公约数。
所以a最大是31。 例2. 除以19，余数是几？ 分析与解答：
如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，是几？
分析与解答：
这个数除以13，商是有规律的。
这个数除以13，商的第100位是几？最后余数
商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”
的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？
则