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6. 行程问题 行程问题（一）
相遇问题
1、基本关系式：速度×时间＝路程 ； 路程÷速度和＝时间 ；路程÷时间＝速度和 2、中点问题
例：李明从甲地到乙地，每小时行5千米，王勇从乙地到甲地每小时行4千米，两人同时出发，在离甲乙两地中点1千米的地方相遇，求甲乙两地相距多少千米？
解题关键：谁走的路程多?多了多少?见图
1×2÷（5－4）＝2（小时）??相遇问题 （5＋4）×2＝18（千米）??两地路程 答：甲乙两地相距18千米。
练与讲：甲乙两人上午8时于东村到西村去，甲每小时比乙快6千米，中午12时甲到西村后立即原路返回，在距西村15千米处遇见乙，求东西两村相距多少千米？
15×2＝30（千米）??甲比乙多行路程 30÷6＝5（小时）??相遇时间
因为上午8时到中午12时，经过时间为12－8＝4小时??甲由东到西的时间
所以加由西到与乙相遇走了小时，1小时甲所行路程为15，则： 15×4＝60（千米）??东西相距 答：东西两村相距60千米。 3、二次相遇问题
例：A、B两车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次是在离甲站50千米处相遇，相遇后两车各自以原来速度继续行驶，到达乙、甲站后立即原路返回，第二次是在离乙站30千米处相遇。问：如此下去，A、B两车第三次相遇在何处？
因为两车同时从两地相对开出到相遇，共同行完1个全程。 所以两车第二次相遇后共同行完3个全程。
那么，两车第三次相遇应共同行完（5）个全程。则解题关键应是全程是多少千米？
由两车第一次相遇离甲站50千米可知，A车、B车共同行完一个全程时A车行了50千米。 50×3＝150（千米）??第二次相遇时A车所行路程
150－30＝120（千米）??全程 想：第三次相遇时，两车合行了5个全程，这时50×5÷120＝2??10（千米） A车是由那个站（甲）开出的
答：第三次相遇是在离甲站10千米处。
练：客货两车同时从甲乙两地相对开出，第一次相遇在离乙地80千米的地方，相遇后继续行驶，均在达到对方出发地后立即返回，第二次相遇在在离甲地50千米处，求甲乙两地间的距离？
因为第二次相遇说明两车共同行驶了三个全程 所以80×3－502＝190（千米） 答：甲乙两地间相距190千米。
例1 A、B两地相距259千米，甲车从A地开往B地，每小时行38千米；半小时后，乙车从B地开往A地，每小时行42千米。乙车开出几小时后和甲车相遇？
分析 我们可以设乙车开出后X小时和甲车相遇。相遇时，甲车共行了38×（X＋0.5）千米，乙车共行了
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42X千米，用两车行的路程和是259千米来列出方程，最后求出解。
解：设乙车开出X小时和甲车相遇。 38×（X＋0.5）＋42X=259
解得 X=3 即：乙车开出3小时后和甲车相遇。
例2 一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行20千米。到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地，往返一次共用7.5小时。求甲、乙两地间的路程。
分析 如果设汽车从甲地开往乙地时用了X小时，则返回时用了（7.5－X）小时，由于往、返的路程是一样的，我们可以通过这个等量关系列出方程，求出X值，就可以计算出甲、乙两地间的路程。
解：设去时用X小时，则返回时用（7.5－X）小时。 20X=30（7.5－X） 解得 X=4.5
20×4.5=90（千米）
即：甲、乙两地间的路程是90千米。
例3 东、西两地相距5400米，甲、乙二人从东地、丙从西地同时出发，相向而行。甲每分钟行55米，乙每分钟行60米，丙每分钟行70米。多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点处？
分析 设行了X分钟，这时甲行50X米，乙行60X米，丙行70X米。甲和乙之间的距离可用60X－50X表示，乙和丙之间的距离可用5400－70X－50X表示。由于这两个距离相等，所以有60X－50X=5400－70X－50X，求出此方程的解就得到所求问题。
解：设X分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。 60X－50X=5400－70X－50X 解得 X=40
即：40分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。
例4 快、慢两车同时从A地到B地，快车每小时行54千米，慢车每小时行48千米。途中快车因故停留3小时，结果两车同时到达B地。求A、B两地间的距离。
分析 我们可以设快车行驶了X小时，那么，慢车就行驶了（X＋3）小时，利用快、慢两车所行的路程相等这一关系，可以列出方程，通过解方程求出快车所行驶的时间，最后用“速度×时间=路程”这一关系求出A、B两地间的距离。
解：设快车行驶了X小时。 54X=48×（X＋3） 解得 X=24
54×24=1296（千米）
即：A、B两地相距1296千米。
例5 一位同学在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。求他后一半路程用了多少时间？
分析 因为这位同学在前一半时间跑步的速度大于后一半时间跑步的速度，所以前一半时间所跑的路程一定大于半圈180米，即在跑前半圈时的速度都是每秒5米，跑前半圈要用180÷5=36秒。如果再求出跑一圈的时间，就能求出跑后半圈的时间了。为了方便计算，我们假设他按题中跑法跑了2圈。
设跑一圈用X秒，则跑二圈共跑720米。 5X＋4X=720 解得 X=80
80－36=44（秒）
即：他后一半路程用了44秒。
追及问题
1、基本关系式：速度差×追及时间＝路程差；路程差÷速度差＝追及时间； 路程差÷追及时间＝速度差
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1、追及 后追前，后速一定比前速快
例：王萍以每小时4千米的速度步行去县城，出发4小时后，陆素骑摩托车从同一地点出发出发沿同一路线去追王萍，每小时行44千米，问：陆素出发后几分钟追上王萍？
因为：路线差为4×4 速度差为44－4
所以：（4×4）÷（44－4）＝0.4小时＝24分钟 答：陆素出发后24分钟追上王萍。
练：A汽车每小时行驶50千米，B汽车每小时行驶40千米，这两辆汽车同时从甲城出发，沿同一路线送货到乙城，A汽车在途中发生故障，停车2小时，结果A、B两车同时到达乙城，求甲乙两城相距多少千米？
A车停车2小时，可理解为B车先走2小时，（路程差） 40×2÷（50－40）＝8小时??追及时间 50×8＝400（千米） 答：甲乙两城相距400千米。
练与讲：一列货车从甲城开往乙城，每小时行50千米，货车开出2小时后，一列客车也从甲城开往乙城，每小时行80千米，为保证安全行车，规定两车的距离不应小于10千米，按此规定，货车最晚应在开出后几小时停下来让客车通过？
货车先开2小时，则路程差为50×2，但是规定两车间距不应小于10千米，那么，路程差应为（50×2－10）千米
（50×2－10）÷（80－50）＝3小时 追及时间 3＋2＝5小时??停车让道时间
答：货车最晚应在开出后5小时停下来让客车通过。 3、转换
例：甲乙两车同时同地出发去同一目的地，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，途中甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟到目的地1小时，求两地间的距离是多少千米？
因为：甲车修车3小时可转化成甲车比乙车迟开3小时，由甲车比乙车迟到1小时，可知，乙停车了甲还行驶了1小时。则可转为乙车比原出发时间迟开小时，那么，就相当于甲车比乙车迟开2小时。
35×2÷（40－35）＝14（小时）??甲行驶时间 40×16＝560（千米）
答：两地间的距离是560千米。
练：AB两地相距20千米，甲乙二人从A地出发去B地，。甲骑车每小时行10千米，乙步行每小时行5千米，甲在途中停了一段时间修车，乙到达B地后，甲离B地还有2千米。问：甲修车用了多少千米？
20÷10＝2（小时）??甲不修车需要时间 20÷5＝4（小时）??乙行全程时间 2÷10＝0.2（小时）??乙到时，甲还要的时间 4＋0.2＝4.2（小时）??甲共用时间 4.2－2＝2.2（小时）
答：甲修车用了2.2小时。
例1 中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米。两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴在前。几小时后小轿车追上中巴车？
分析 原来小轿车落后于中巴车60千米，但由于小轿车的速度比中巴车快，每小时比中巴车多行84－60=24千米，也就是每小时小轿车能追中巴车24千米。60÷24=2.5小时，所以2.5小时后小轿车能追上中巴车。
例2 一辆汽车从甲地开往乙地，要行360千米。开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车故障修车2小时。因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米。汽车是在离甲地多远处修车的？
分析 途中修车用了2小时，汽车就少行45×2=90千米；修车后，为了按时到达乙地，每小时必须多行30千米。90千米里面包含有3个30千米，也就是说，再行3小时就能把修车少行的90千米行完。因此，修车后再行（45＋30）×3=225千米就能到达乙地，汽车是在离甲地360－225=135千米处修车的。
例3 甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发。走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继续前进。甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙。甲骑车多少分钟才能追上乙？
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分析 当甲取了东西改骑自行车出发时，乙已行15＋15＋5=35分钟，行了60×35=2100米。甲骑车每分钟比乙步行多行（360－60）米，用2100米除以（360－60）米就得到甲骑车追上乙的时间。
例4 甲骑车、乙跑步，二人同时从同一地点出发沿着长4千米的环形公路同方向进行晨练。出发后10分钟，甲便从乙身后追上了乙。已知二人的速度和是每分钟700米，求甲、乙二人的速度各是多少？
分析 出发10分钟后，甲从乙身后追上了乙，也就是10分钟内甲比乙多行了一圈。因此，甲每分钟比乙多行4000÷10=400米。知道了二人的速度差是每分钟400米，速度和是每分钟700米，就能算出甲骑车的速度是（700＋400）÷2=550米，乙跑步的速度是700－550=150米。
例5 甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。甲在公路上A处，乙、丙在公路上B处，三人同时出发，甲与乙、丙相向而行。甲和乙相遇3分钟后，甲和丙又相遇了。求A、B之间的距离。
分析 甲和乙相遇后，再过3分钟甲又能和丙相遇，说明甲和乙相遇时，乙比丙多行（100＋75）×3=525米。而乙每分钟比丙多行90－75=15米，多行525米需要用525÷15=35分钟。35分钟甲和乙相遇，说明A、B两地之间的距离是（100＋90）×35=6650米。
练 习
1、甲乙两人同时从两地骑车相向而行，甲车速度为每小时15千米，乙车速度为每小时15千米。两人相遇后，距离两地中点3千米，求两地相距多少千米？
3×2÷（15－13）＝3（小时）??相遇时间 （15＋13）×3＝84（千米） 答：两地相距84千米。
2、一列火车于下午1时30分从甲站开出，每小时行60千米，1小时后，另一列火车以同样速度从乙站开出，当天下午6时两车相遇。问：甲乙两地相距多少千米？
6－1.5＝4.5（小时）??甲车行的时间 4.5－1＝3.5（小时）??乙车行的时间 60×（4.5＋3.5）＝480（千米） 或（60＋60）×3.5＋60＝480（千米） 答：甲乙两地相距480千米。
1、 甲乙两车同时从AB两地相向而行，在距A地60千米处相遇，他们各自到达对方出发点后立即返回。途中又在距A地40千米处相遇，求：A、B两地间距离？
60×3＝180（千米）??二次相遇甲行路程
180＋40＝220（千米）??如果把乙走的路程给甲，甲则行了两个路程 220÷2＝110（千米）
答：A、B两地相距110千米。
4、A、B两地相距960千米，甲、乙两车同时从A地出发开往B地，甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米。甲车达到B地后休息了0.5小时，又以原速度返回A地，那么，两车会在离B地多少千米处相遇？
960÷80＝12（小时）??甲行全程时间
60×（12＋0.5）＝750（千米）??乙行的路程
（960－750）÷（80＋60）＝1.5（小时）??相遇时间 80×1.5＝120（千米）
答：两车在距离B地120千米处相遇。
5、两辆卡车为王村送化肥，第一辆车以每小时30千米的速度从仓库出发，12分钟后第二辆汽车以每小时
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40千米的速度也从此仓库出发，结果两车同时到达王村。求仓库距王村多少千米？
12分＝0.2小时
30×0.2＝6千米??路程差
6÷（40－30）＝0.6（小时）??追及时间
40×0.6＝24(千米) 或30.0.6＋6＝24（千米） 答：仓库到王村相距24千米。
6、兄弟二人同时沿同一路线从东城去西城，哥哥每天走24千米，弟弟每天走18千米，后来哥哥因有事在途中停留了4天，结果比弟弟晚到1天，求东西两城相距多少千米？
18×（4－1）＝54（千米） 54÷（24－18）＝9（天） 24×9＝216（千米）
答：东西两城相距216千米。
7、AB两城相距380千米。客车和货车分别从西城同时出发，相对而行，经过4小时两车相遇，货车比客车每小时快5千米。求这两辆车每小时各行多少千米？
380÷4＝95（千米）??速度和
（95－5）÷2＝45（千米）??客车速度 45＋5＝50（千米）??货车速度
答：客车速度为每小时45千米，货车速度为每小时50千米。
8、甲乙两车同时从A地出发，沿同一路线往返于A、B两地间。甲车每小时行4千米，乙车每小时行3千米，甲在距B地4千米的地方遇到乙。求AB两地的距离？
4×2÷（4－3）＝8小时
4×8－4＝32－4＝28（千米）
答：AB两地相距28千米。