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习 题
1. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。 1、13、24、29、41、57、63、79、87 合数有：24、57、63、87 质数有：13、29、41、79
2. 写出两个都是质数的连续自然数。 2和3
3. 写出两个既是奇数，又是合数的数。 9和15
4. 判断：
（1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（×） （2）偶数都是合数，奇数都是质数。（×） （3）7的倍数都是合数。（×）
（4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。（√） （5）只有两个约数的数，一定是质数。（√） （6）两个质数的积，一定是质数。（×） （7）2是偶数也是合数。（×）
（8）1是最小的自然数，也是最小的质数。（×） （9）除2以外，所有的偶数都是合数。（√）
（10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。（√）
5. 在（ ）内填入适当的质数。 10＝（3）＋（7） 10＝（2）×（5）
20＝（2）＋（7）＋（11） 8＝（2）×（2）×（2）
6. 分解质因数。
65 56 94
5651365?5?13
76
25622821472944794?2?47
105
56?2?2?2?7
135
513527623819
87
327393
5105321776?2?2?19 135?5?3?3?3
93
105?5?3?7
12
387293933193?3?31 87?3?29
7.两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？ 这两个质数分别是3和15。
8. 一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是（ ）。 13和31 37和73 79和97
9. 用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是（375），最大是（735）。 可以这样想：（1）10以内质数有：2、3、5、7；（2）同时能被3、5整除，个位上数只能是5；这个三位数各数位之和也必须是3的倍数，所以只能用3和7。
10、边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？ 105=1×105=3×35=5×21=7×15 共4种
11、五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数。 55440=2×2×2×2×3×3×5×7×11=7×8×9×10×11
12、自然数a乘338，恰好是自然数b的平方。求a的最小值以及自然数b。 338=2×13×13 a取2 a×338=2×2×13×13 b=2×13=26 13、 求10500的约数共有多少个？
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10500=2×5×3×7 故其约数个数是 （2+1）×（3+1）×（1+1）×（1+1）=48个
14、现有1，3，5，7四个数字,用它们可以组成哪些两位数的质数（数字可以重复使用）？ 11，13，17，31，37，53，71，73；
15、a，b，c都是质数，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。
17，5，3 提示：c小于9，否则a×b+c＞88。对c=2，3，5，7四种情况逐一试算。 16、A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数。试求出一个满足要求的质数A。
5。 提示： A+6，A+8，A+12，A+14分别与A+1，A+3，A+2，A+4除以5的余数相同。因为自然数除以5只有整除、余1、余2、余3、余4五种情况，原来的四个数都是大于5的质数，不应被5整除，只能是余1、余2、余3、余4，所以A=5。
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3. 最大公因数、最小公倍数
一、基础知识：
约数和倍数： 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
最大公约数： 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，?，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，?，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。
最小公倍数： 如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1，a2，?，an的最小公倍数通常用符号[a1，a2，?，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。
二、基本性质的性质：
1、 两个数都除以它们的最大公约数，所得的两个商是互质数。 2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。 5、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
6、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 三、基本方法：
1、写出一个数的约数的方法：成对写出； 2、求最大公约数基本方法：
1）、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来； 2）、短除法：先找公有的约数，然后相乘；
3）、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数； 3、求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法。 ☆从两个数的最大公约数出发分析：
如果d是a、b的公约数，这d∣a，d∣b。则d的质因子应是a和b的公有的，而a、b所有公有的质因子构成的数即为最大公约数。
那么不难由质因子的互相归属关系得到下面的性质：
如果c是a、b的公约数，d是a、b的最大公约数，则c是d的约数―――[性质1] 不难对最小公倍数也做类似分析，则如果m是a、b的最小公倍数，则m的质因子恰好包括了a、b的质因子。
例1 、用辗转相除法求（5890，6327）。 答：19。
例2、育才中学初一（3）班有男同学27人，女同学18人，全班同学去划船（每条船不超过6人），要保证每条船上男、女同学都分别相等，至少应该租几条船？
解：（27，18） = 9（条） 答：至少要租9条船。
例3、 有320个苹果，240个橘子，200个梨，用这些水果最多可分成多少份同样的礼物？ 在每份礼物中，苹果、橘子、梨各有多少个？
答：最多可分成40份同样的礼物每份礼发挥中有8个苹果，6个橘子，5个梨。
例4、某车站有开往甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15分钟开出一辆，到乙地的汽车每隔20分钟开出一辆，到丙地的汽车每隔50分钟开出一辆。如果三种车的头班车都在早6时开出，那么，最近在什么时间开往这三地的汽车又一次同时从该站发车？
答：11时。
例5、加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个
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工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？
分析 要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数，要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。
〔3，10，5〕=5×3×2=30 ∴ 各道工序均应加工30个零件。
30÷3=10（人） 30÷10=3（人） 30÷5= 6 （人）
答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。
例6、有一个数在700到800之间，用15、18和24去除。都不能整除。如果给这个数加1，就能同时被15，18和24整除。这个数是 。
解：这数加上1，是15，18，24的公倍数，因而是它们的最小公倍数[15，18，24]=360的倍数。由于这个数加个1在701到801之间，所以这个数是2×360-1=719。
例7、有一盒糖，如果按每4块一堆分开，结果多出1块；按每5块一堆分开，也多出1块；按每6块一堆分开，还是多出1块。问：这盒糖至少有多少块？
解：如果从何种拿走一块糖，那么剩下的糖分别按4块、5块、6块一堆分开，都是正好分完，即拿走一块后，剩下的块数，一定是4、5、6的公约数。由于题目的要求至少有多少块糖，所以应该是4、5、6的最小公倍数再加1。也就是说这盒糖至少有61块。
例8、在被除数小于100的条件下，在方格中填上适当的数。
解：60÷14 = 4??4 ，60÷11 = 5??5 ，60÷9 = 6??6
例9、四个连续自然数的最小公倍数是5460，这四个数的和是多少？
例10、两个数的最大公约数是15，最小公倍数是450，求这两个数的所有可能。 解：15，450 30，225 15，150 75，90
例11 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？
分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。
所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。 为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。 例12 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？
分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。 498-450=48，450-414=36，498-414=84。 所求数是（48，36，84）=12。
例13 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？
分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101
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×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。
例14 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？
分析与解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）
小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。
所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。
例15 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？
分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60，75，90的公倍数。所求时间为[60，75，90]=900（秒）=15（分）。
例16 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。
[6，5，4，3，2]=60，
爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在 小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁）， 爷爷的年龄=10×7=70（岁）。
接下来讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。 在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法
可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么
（18，12）×[18，12]
=（2×3）×（2×3×3×2） =（2×3×3）×（2×3×2） =18×12。