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所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
例4. 除以7，余数是几？ 分析与解答：
例5. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几？ 分析：假设这个自然数为a 那么
这道题考虑的困难是它们的余数不相同。
如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：
一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余2，那么，这个自然数若减去2，便同时是3，5，7的倍数，这样的自然数有：
105，210，315，??
分别被3，5，7除余2的数是 2，107，212，317，?? 最小的自然数是2。
回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？ 稍加变式，可以写成：
这样同时是3，5，7倍数的数有105，210，315，?? 那么同时被3，5，7余8的数有： 8，113，218，323，?? 其中最小的自然数为8。
例6.在求51173526被7除的余数时，小明这样做： 所以余数是5
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刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？ 分析与解答：
看了下面的算式，你就会明白的。
小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。
例7. 除以3的余数是几？为什么？ 分析与解答：
在上式的加项中，数是几。
由于 因此
显然可以被3整除，因此只须计算
被3除余
由此可知，只须计算由于
所以余数是1
，所以
被3除的余数，它又等于被3除的余数。
练 习
1、有一个大于1的整数，它除1000，2001,967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？
解：由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即 2001-1000=1001=7×11×13 1000-967=33=3×11
2001-967=1034=2×11×47
这个整数是这三个差的公约数11. 答：这个整数是11.
2.求2008的最小同余数.
解：可以先去掉7的倍数1400余608，再去掉560还余下48，再去掉42最后余下6.这个过程可简单地记成： 2008→608→48→6.从这几个数我们可以看出，它们除以7都余6. 答：2008除以7的余数是6.
3.有一个大于1的整数，它除1000，2001,967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？
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解：由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即 2001-1000=1001=7×11×13 1000-967=33=3×11
2001-967=1034=2×11×47
这个整数是这三个差的公约数11. 答：这个整数是11.
4、669977除以3的余数是多少？
解：?3669933 669933=669977-11
?669977?11 （mod3）
余数是1
5. 数2001，2232除以整数n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n. 解：根据余数相同，所求的数应能整除2001与2232的差，即
2232-2001=231=3×7×11
由此我们知道n可能是3或7或11，究竟哪个符全合条件呢，这我们得认真对待，千万不能手懒.只要试一试即可，得7和11、21、33、77都符合条件. 答：n是7或11或21或33或77或231.
6.用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.
解：根据两个数除以同一个数余数相同的特点，我们可以得到903 -715的差能被这个数整除，又因为所得的商相差4，也就是903 -715的差除以这个数应该得4，要求这个数，即可用（903-715）÷4=47，即所求的数为47.
答：这个数是47.
此类题可以归结为：甲乙两个数除以一个相同的数，余数相同，且商相差n(n>1)，则这个相同的数为（甲-乙）÷n.
7、分别求1111??????1除以7，6，3的余数 ?????1994个11）?7111111 1994?6?332余2
?所求余数就是11?7的余数4
2）从高位到低位的商对应的余数是：5，3，1，5，3，1，5，3，1。。工1993个。1993?3?664余1，
故余数是5
3）能被3整除的数，数位上数字的和是3的倍数，数位上数字的和是1994，
11??????1?1994?2 （mod3），所以余数是2 ?????1994个18、 利用同余的性质求下列各题的余数。
437?309?1993 除以 7
2
24 45除以11
21被61除 3除以19
169、求47?52?279的末位数字。
3581244735?5281?27924?74?20?3?24?20?1?94?5?4 （mod10）
?73?21?94?3?2?1?5 24
10、 把1至1996这1996个自然数依次写下来，得一多位数123456789101112??199419951996，试求这一多位数除以9的余数．
分析：从前面我们学习被9整除的特征知道，一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，这个数必能被9整除．所以一个数除以9的余数，与这个数的各个数位上的数字之和除以9的余数正好相等．这样问题转化为求1至1996这1996个自然数中所有数字之和是多少，然后用这个和除以9所得的余数即为所求．
解：将0至1999这2000个整数一头一尾分成如下1000组：（0，1999），（l，1998），（2，1997），（3，1996），??，（997，1002），（998，1001），（999，1000）．以上每一组的两数之和都是1999，并且每一组两数相加时都不进位，这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：
（1＋9＋9+9）×1000=28000
而1997至1999这3个自然数所有数字之和为：
1×3+9×3+9×3＋7+8+9=81
所以从1至1996这1996个自然所有数字之和为:
28000-81=27919
27919÷9=3102?1
所以123456789??199419951996除以9的余数是1．
另外：因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的位数一定能被9整除．而1至1996共有1996个连续的自然数，且1996÷9=221?7，最后7个自然数为1990，1991，1992，?1996，这7个数的所有数字之和为：
1×7＋9×7+9×7+1＋2＋3＋?+6=154
154÷9=17?1
所以123456789??199419951996这个多位数被9除余1．
为什么依次写出任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？这是因为任意连续的9个自然数各数位上的数字之和除以9的余数，必是0，1，2，?，7，8这9个数，而各数位上的数字之和除以9的余数，
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就等于这9个数之和0+1+2+?+8除以9的余数，由于0＋1＋2+?＋8=36能被9整除，所以任意连续的9个自然数各数位上的数字之和必能被9整除，因此任意连续9个自然数所组成的多位数必能被9整除．