重庆交通大学《误差理论与测量平差基础》教案 刘国栋版
确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据 ①水准网（三角高程网）：一个已知点高程 ②测站平差：一个已知方位
③测角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位，一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。 ④测边网和边角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位。
各种控制网中少于等于必要起算数据的控制网成为独立网，多于必要起算数据的控制网成为非独立网或附合网。
三、必要观测及其数目的确定
确定几何、物理模型的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号用符号t表示。 高程网： t=p-q-1
测站平差： t=p-q-1 必要起算数据 测角网： t=2p-q-4 测边网和边角网：t=2p-q-3
P:总点数或总方向数（测站平差）；q：多余起算数据数
必要起算数据之外的起算数据
四、多余观测及其数目的确定
必要观测之外的观测称为多余观测，其数目用符号r表示 多余观测数＝观测总数－必要观测数（r=n-t）
五、必要观测和多余观测数目计算练习
计算图3-1至图3-7的必要观测数和多余观测数。
小结：本节介绍了测量控制网的类型，和各类控制网中应具备的必要起算元素，必要观测元素，应重点掌握必要观测元素数和多余观测元素数的计算。
4.2 函数模型
1、条件平差法
~FL?0
r,1??2、间接（参数）平差法
~~L?F??X?? n,1?t,1?3、附有参数的条件平差法
~~FL,X?0
c,1??14
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4、附有限制条件的间接（参数）平差法
~~?L?F??X??n,1?u,1??? ~?X?0?s,1???用简单控制网图形举例说明。
4.3 函数模型的线性化
设
~~F?F??L,X?? c,1?n,1u,1?用泰勒公式导出F的线性形式为
F?FL,X0?A??B~x
根据上述函数模型线性化过程，可将各种平差方法的函数模型线性化
1、 条件平差法
A??W?0 式中 A?2、间接平差法
式中 B?3、附有参数的条件平差法
?F~?LL??，W??F?L?
??B~x?l
?F~?XX0，l?L?FX??，
0A??B~x?W?0
式中 W??FL,X0， 4、附有限制条件的间接平差法
????B~x?l ~cx?W?0x式中
s,uc???~?XX0，Wx???X0
??4.4 测量平差的数学模型
1、各种平差方法的随机模型
n,n22D??0Q??0P?1
n,nn,n15
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2、各种平差方法的数学模型
各种平差方法函数模型的线性形式分别与平差的随机模型联立，即为相应平差方法的数学模型。 小结：本次课所讲的各种平差方法的函数模型均能建立各观测值之间的函数关系式，正确建立这种关系式，是正确求得观测值最可靠结果的前提。
4.5 参数估计与最小二乘原理
一、引例
已知平面三角形三内角应满足
~~??LLL?180?0
0123~或
??????W?0
123式中
W?1800??L1?L1?L1?
上方程中有三个未知数，是相容方程，只能在某一准则下求得式中未知数的估值。
二、最小二乘准则:
???TD?1??min
顾及方差阵与权阵的关系，并用Δ的估值V代替Δ又可得
??VPV?min
T观测量真值向量的估值公式为：
??L?V L?称为观测向量的“最或然值”向量或“观测值的平差值”向量；V称为改正数向量。 式中L三、最小二乘估计
根据最小二乘准则进行的估计称为最小二乘估计，按此准则求得一组估值的过程，称为最小二乘平差，由此而得到的一组估值是满足方程的唯一解。
如果方差阵D和权阵P是非对角阵，则表示观测值是相关的，按此准则进行的平差即称为相关观测平差。如果是对角阵，则表示观测值是彼此不相关的，此时称为独立观测平差。
当观测值不相关，即P为对角阵时，则有
??VPV??PV?PV?PV?...?PV?min
Ti?1i2i121222n2nn16
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当观测值不相关, 并为等精度,即P=I时, 则有:
??VV??V?V?V?...?V?min
Ti?12i21222nn小结：最小二乘原理是测量平差的基本原理，按最小二乘准则求得的观测量及其函数的结果是最可靠的结果，后续所讲所有平差方法均按此准则求解。
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第5章 条件平差
5.1 条件平差原理
一、条件方程和改正数条件方程
列出用观测值真值和真误差表示的条件平差函数模型
导出用按最小二乘准则求得的观测值平差值和观测值改正数表示的条件平差的函数模型
??0——条件方程 FLr,1r,1r,nn,1??AV?W?0——改正数条件方程
r,1W??F?L?——改正数条件方程常数项（闭合差）计算式
举例（单三角形函数模型的建立）
二、条件方程的纯量表达式和矩阵表达式
r个条件方程的纯量表达式：
?,L?,?,L??0?F1L12n?,L?,?,L??0?F2L? 12n???????????,L?,?,L??0?FrL12n???????线性化后得改正数条件方程
a1v1?a2v2???anvn?wa?0?b1v1?b2v2???bnvn?wb?0???
??????????????r1v1?r2v2???rnvn?wr?0??其中
wa??F1?L1,L2,?,Ln??wb??F2?L1,L2,?,Ln????
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