重庆交通大学《误差理论与测量平差基础》教案 刘国栋版
第6章 附有参数的条件平差
一、概述
设X??ABD，又可列出1个极条件和一个固定边条件
~~~~~sinL5?L7sinXsinL6极条件为（以A点为极）：~~~~~?1
sinL9?XsinL6?L8sinL5??????固定边条件为（由AC边推算到AB边）：SAB?SAC或
~~~sinL2sinL6?L8 ~~sinL3sinX??~~~SACsinL2sinL6?L8?1 ~~SABsinL3sinX??由于选了一个参数，增加了一个条件，一般情况下，若选了u个参数，则条件方程的数目为c=r+u.从以上5 个方程出发进行平差，就是附有参数的条件平差方法。
二、基础方程
??L?VX??，用奇表示的附有参数的条件平差函数模型为 观测量L和X的最佳估值L，?X?x0~~?,X??0——条件方程 FLr,1r,1??或
c,nn,1??W?0——改正数条件方程 AV?Bxc,uu,1c,10——改正数条件方程常数项（闭合差）计算式 W??FL,X
??按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为K??kakb?kr?，称为联系数向量。组成函数
Tr,1??W?， ??VTPV?2KT?AV?Bx24
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?分别求一阶导数，并令其为零，导出改正数V的计算公式 将?对V和xV?P?1ATK?QATK——改正数方程
附有参数的条件平差的基础方程为：
c,nn,1??W?0 AV?Bxc,uu,1c,1?1TTV?PAK?QAK
BTK?0
方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。
三、基础方程的解
将改正数方程代入改正数条件方程，并令Naa?AQAT?AP?1AT，则得法方程
??W?0 NaaK?BxBTK?0 ——法方程
?1秩R?Naa??RAQAT?R?A??c，即Naa是个c阶的满秩方阵，顾及Nbb?BTNaaB??由法方程
，
可解出
?1T?1??NbbxBNaaW, ?1??， ?W?BxV?QATNaa四、精度评定
（一）、单位权方差估值计算
VTPVVTPV?0＝??
rc-u2VTPV的计算：
1、VTPV＝P1V1?P2V2???PnVn权阵为对角阵时
222????WK 2、VPV?(QAK)PV?KAV?KW?KBxTTT?1T?1?1?1??WTNaaW?BTNaaW3、VPV?WK?WNaaW?WNaaBxTTTTTTT??T? x（二）、协因数阵 设
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ZT?LT?WT?TXKTVT?TL
?列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中
证明：表中QX?X?、QVV的计算表达式。 （三）、观测值平差值的精度评定
2?0DLQL?L?＝??L? 2?0DXQX?X?＝??X?
（四）、平差值函数的精度评定 设
? ?＝?L,X?对其全微分，得权函数式：
???＝d?式中
????????FTdX? dL?dX?FTdLx???L?X???F??????L1T????L2????
???Ln?????FxT???1??x?的协因数为： 按协因数传播律得????2?x???? ??n??xQ????＝F?T?QL??F?L?L??QXTx?QL?X???F???? QX?X???Fx?TTT?FTQL?L?F?FQL?X?Fx?FxQX?L?F?FxQX?X?Fx
?的中误差为： ??0Q?????????
小结：掌握此种平差方法的应用范围，平差的方法步骤。
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第7章 间接平差
7.1 间接平差原理
??L?V，X??X0?x观测量L和X的最佳故值L?，用平差值和改正数表示间接平差的函数模型
为
n,1~~??FX?—平差值方程（观测方程） Lr,1n,tt,1n,1????l—误差方程 V?Bxn,1 l?L?FX0—误差方程常数项（闭合差）计算式
以测角单三角形为例，列出平差值方程和误差方程。
??二、方程的纯量表达式与矩阵表达式
设有n个条件方程：
??FX?,X?,?,X?L1112n??FX?,X?,?,X?L2212n??????????FX?,X?,?,X?Lnn12n??????? ??????线性化后得误差方程为
?1?b1x?2???t1xt?l1?v1?a1x?1?b2x?2???t2xt?l2?v2?a2x??
???????????????1?bnx?2???tnxt?ln?vn?anx?其中
0l1?L1?F1X10,X2,?,Xt0??0l2?L2?F2X10,X2,?,Xt0??
????????????0ln?Ln?FnX10,X2,?,Xt0????????令
?a1?aB??2????an
?t1??l1??v1??l??v?b2?t2?2?, l???, V??2? ???????????????bn?tn?l?n??vn?b127
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则误差方程的矩阵表达式为
??l V?Bx误差方程常数项（闭合差）计算式的矩阵表达式为
l?L?FX0
??三、基础方程
误差方程中未知数个数（n+t）大于方程个数n，方程有无穷多组解。根据最小二程原理可求得满足方程的唯一一组解。
求VPV的自由极值得基础方程
T
??l?V＝Bx ?T?BPV＝0四、基础方程的解
将基础方程第一式代入第二式，令Nbb＝BTPB，W＝BTPl，得法方程
??W＝0____法方程 Nbbx解上方程得：
?1?＝NbbxW
当P为对角阵时，法方程的纯量形式为
?1??pab?x?2????pat?x?t??pal???paa?x?1??pbb?x?2????pbt?x?t??pbl???pab?x? ??????????????????1??pbt?x?2????ptt?x?t??ptl???pat?x?五、按间接平差法求平差值的计算步骤及示例
用水准网例题讲解平差的方法步骤。
小结：本节应熟记观测方程，误差方程，误差方程常数项计算式，法方程的表达形式，掌握用间接平差法平差的方法、步骤。
7.2 误差方程
一、参数个数的确定与选取
参数个数：等于必要观测数 t；
参数选取：水准网一般选择未知点高程为参数，也可选择观测高差为参数；平面控制网一般选择未知点坐标为参数，也可选择观测角度等为参数。
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