解法一：∴BP2?（1?t）2 ?3t2，AP2?(2?t)2?3t2. ∵BP2?AP2?AB2，
∴(1?t)2?3t2?(2?t)2?3t2?9， 即4t2?t?2?0.
?1?33?1?33，t2? （舍去）. 88解法二：∵∠APD?∠BPD?90?，∠B?∠BPD?90?，
解得t1?∴∠APD?∠B. ∴△APD∽△PBD. ∴
ADPD?. PDBD∴PD2?AD·BD.
于是(3t)2?(2?t)(1?t)，即 4t2?t?2?0. 解得t1??1?33?1?33，t2? （舍去）. 88?1?33. 8综上，当△ABP为直角三角形时，t?1或（3）解法一：∵AP?AB， ∴∠APB?∠B.
作OE∥AP，交BP于点E， ∴∠OEB?∠APB?∠B. ∵AQ∥BP，
∴∠QAB?∠B?180?. 又∵∠3?∠OEB?180?， ∴∠3?∠QAB.
又∵∠AOC?∠2?∠B?∠1?∠QOP， 已知∠B?∠QOP， ∴∠1?∠2.
∴△QAO∽△OEP. ∴
AQAO，即AQ·EP?EO·AO. ?EOEP∵OE∥AP，
∴△OBE∽△ABP.
数学试题 第 36 页 共 59 页
∴
OEBEBO1???. APBPBA313∴OE?AP?1，BP?EP.
23∴AQ·BP?AQ·
333EP?AO·OE??2?1?3. 222
解法二：连接PQ，设AP与OQ相交于点F.
∵AQ∥BP，
∴∠QAP?∠APB. ∵AP?AB， ∴∠APB?∠B. ∴∠QAP?∠B. 又∵∠QOP?∠B， ∴∠QAP?∠QOP. ∵∠QFA?∠PFO， ∴△QFA∽△PFO. ∴
FQFAFQFP，即. ??FPFOFAFO又∵∠PFQ?∠OFA， ∴△PFQ∽△OFA. ∴∠3?∠1.
∵∠AOC?∠2?∠B?∠1?∠QOP， 已知∠B?∠QOP， ∴∠1?∠2. ∴∠2?∠3.
∴△APQ∽△BPO. ∴
AQAP. ?BOBP∴AQ·BP?AP·BO?3?1?3.
数学试题 第 37 页 共 59 页
22.
【答案】（1）顶点D的坐标为（3，?1）. 令y?0，得
1(x?3)2?1?0， 2解得x1?3?2，x2?3?2. ∵点A在点B的左侧，
∴A点坐标(3?2，0)，B点坐标（3?2，0）. （2）过D作DG⊥y轴，垂足为G. 则G（0，?1），GD?3. 令x?0，则y?∴GC?
77，∴C点坐标为（0，）. 2279?(?1)?. 22设对称轴交x轴于点M.
∵OE⊥CD，
∴∠GCD?∠COH?90?. ∵∠MOE?∠COH?90?， ∴∠MOE?∠GCD.
又∵∠CGD?∠OMN?90?， ∴△DCG∽△EOM.
[来源:ZXXK]9CGDG3?，即2?∴. OMEM3EM∴EM?2，即点E坐标为(3，2)，ED?3. 由勾股定理，得AE2?6，AD2?3， ∴AE2?AD2?6?3?9?ED2.
∴△AED是直角三角形，即∠DAE?90?. 设AE交CD于点F. ∴∠ADC?∠AFD?90?. 又∵∠AEO?∠HFE?90?， ∴∠AFD?∠HFE， ∴∠AEO?∠ADC.
数学试题 第 38 页 共 59 页
（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理，得PQ2?EP2?1. 要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小. 设P坐标为（x，y），由勾股定理，得EP2?(x?3)2?(y?2)2. ∵y?
1(x?3)2?1， 2∴(x?3)2?2y?2.
∴EP2?2y?2?y2?4y?4 ?(y?1)2?5.
当y?1时，EP2最小值为5. 把y?1代入y?
11(x?3)2?1，得(x?3)2?1?1， 22解得x1?1，x2?5.
又∵点P在对称轴右侧的抛物线上， ∴x1?1舍去.
∴点P坐标为(5，1). 此时Q点坐标为（3，1）或(
1913，). 55
2014年厦门市中考数学
2014龙岩市中考数学
数学试题 第 39 页 共 59 页
24．（13分）（2014?龙岩）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D，E分别是边BC，AB的中点，P是BC边上的动点（不与B，C重合）．设BP=x． （1）当x=6时，求PE的长； （2）当△BPE是等腰三角形时，求x的值；
（3）当AD平分EP时，试判断以EP为直径的圆与直线AC的位置关系，并说明理由．
考圆的综合题． 点： 专综合题． 题： 分（1）根据等腰三角形的性质得BD=CD=6，AD⊥BC，所以x=6时，点析： P在D点处，根据直角三角形斜边上的中线性质得PE=AB=5； （2）先得到BE=5，再分类讨论：当BP=BE=5，易得x=5；当EP=EB，作EM⊥BD于M，如图1，根据等腰三角形的性质得BM=PM，由点E为AB的中点，EM∥AD得到M点为BD的中点，则PB=BD=6，即x=6；当PB=PE，如图2，作PN⊥BE于N，根据等腰三角形的性质得BN=EN=BE=，再证明Rt△BPN∽Rt△BAP，理由相似可计算出PB=即x=； ，（3）EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如图3，在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AD=8，由点E为AB的中点，EF∥BD得到EF为△ABD的中位线，则EF=BD=3，AF=DF=AD=4，再利用“AAS”证明△OEF≌△OPD，则OF=OD=DF=2，所以AO=AF+OF=6，然后在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出OE=利用相似比计算出OH=，证明Rt△AOH∽Rt△ACD，，再比较OE与OH的大小，然后根据直线数学试题 第 40 页 共 59 页