第8章（之1）
第36次作业
教学内容：§8.1.1数列 8.1.2收敛数列
1．选择题：
***（1）若liman?a,则???0，在a的?邻域之外，数列{an}中的点 ( )
n??（A）必不存在；
（B）至多只有有限多个； （C）必定有无穷多个；
（D）可以有有限个，也可以有无穷多个.
解答：（B）.
il*（2）设an?(?1)n?1，数列{an}的前n项值之和记为Sn，则m（A） 0； （B）1； （C）1/2； （D）1/3.
解答：（C）.
1(S1?S2???Sn)?（ ） n??n提示:S1?1,S2?0,?,S2k?1?1,S2k?0,?,S1?S2?S3???S2k?k, S1?S2?S3???S2k?1?k?1．
2．填空题：
12n*（1）lim(2?2???2)? .
n??nnn解答： 1/2 .
*（2）lim(n?3?n)n?1? .
n??解答： 3/2 .
an2?bn?5?2，则a ，b . *（3）设limn??3n?2解答：a?0，b?6.
3．计算下列极限：
*（1）lim(2?42?82??22)；
n??n
113
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解： lim(2?42?82??22)?lim(2?2?2??22)?lim2k?1n??n1214181n?2kn1n??n??
?lim2n??1?12n?2.
**（2）lim(1?)(1?n??13111)(1?)?(1?). n242333解：lim(1?)(1?n??13111)(1?)?(1?)
2n3234311111(1?)(1?)(1?2)(1?4)?(1?n)233333 ?lim
n??11?31?( ?limn??132n)21?13?3. 2*（3）lim2nsinn??x2n（x为不等于零的常数）. x?x.
解：原式=lim2n?n??2n
**4. 求极限 lim(nsin)n??1nn2；
1x2解：首先可求：lim(xsin)x???xx?1tsintt2lim() t?0?t1cost1?????1sint?lnsint?lnt???sintt ?exp?limln?explim?explim??2????t?0?t?2tt2?t?0t??t?0????? ?exp?lim?tcost?sint?tcost?sint??? ?explim23????t?0t?02tsint2t????114
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?cost?tsint?cost??tsint???6 ?exp?lim， ?explim?e22?????t?0t?06t6t?????1n2?lim(nsin)?e6.
n??n
11 也可直接用公式
t?0lim(?sintt2sint?t)?exp(lim)?exp[lim3?t?0t?0?tt
n1t?13t?o(t3)?t1?3!]?e6. 3ta?nbn***5. 求极限 lim(（a>0，b>0）. )，
n??2a1/n?b1/n?2)解：原式=lim[(1?n??221/na?b1/n?2(a1/n?1)?(b1/n?1)]2?1n=e1(lna?lnb)2?ab.
6．利用夹逼定理计算下列数列的极限：
xndx； ***（1）an??0x?111xn解：当0?x?1时，有 0??xn，即 0?an??xndx
01?x 而 limn???10xndx?lim1?0，
n??n?11xndx?0. 由夹逼定理知：liman?0, 即 lim?n??n??0x?1
***（2）xn?(an?bn)1n(a?0,b?0)；
a,b}，则 解：记A?max{ A?xn?(2A)?2A ， 用夹逼定理，并注意到lim12nn1n1nn???1知：
1na,b}. limxn?A, 即 lim(a?b)?A?max{n??nnn??115
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?nsinxdx???0?****（3）??.
n????解：?n?3，?k?N，使k满足 k??n?(k?1)?。再注意到：
sinx 的周期为?，且
k???0sinxdx?2.
n?0?02k??(k?1)?(k?1)?n显见，当n?? 时，必有k??，
sinxdx而当k??时，
sinxdx??(k?1)?0|sinx|dxk??2(k?1) （1） k?2k2?,(k?1)??n02(k?1)2?， k???从而对（1）式用夹逼定理知limn??sinxdxn?2?.
**7．若liman?a，试证明lim|an|?|a|n??n??(a?0)，反之如何？若 a=0 又如何？
证明：? liman?a，则???0，?N?N?，当n?N，有：an?a??，
n?? 而 |an|?|a|?|an?a|??， ?n??liman?a。
若a?0，不能由 liman?a?liman?a，
n??n??反例为an?(?1)n，liman?1 但liman不存在．
n??n??若a?0，则liman?0?liman?0这由极限定义可得.
n??n??
第8章（之2） 第37次作业
教学内容：§8.1.3有界数列和单调数列
**1. 设an?1011n?9????，试证明数列{an}有极限，并求出liman。
n??132n?1116
解：由于数列的极限存在与否与该数列的有限项无关，故我们从第10项开始考虑，当
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aan?1020?20? n?10 时， n?1?， n????an2n?121a10?21?n?10，
?20? 0?an???21??n?10a10，
?由夹逼定理知，数列{an}存在极限，且liman?0.
n??注：本题也可利用“单调有界数列收敛定理”证明该数列收敛，再计算其极限.
**2. 设x0?2,xn?1?1???x?(n?1,2,?)，试证明数列{xn}收敛，并求其极限. n?1??2?xn?1?121xn?1)?xn?1?1xn?1?1，
证明：显见xn?0，且 xn?(xn?1? xn?xn?11?xn?1??0，
2xn?1n??2 ?{xn}单调下降，且有下界， ?limxn存在。设此极限为A， 对xn?1111(xn?1?)两边取极限得：A?(A?)， 解得 A?1（舍负根）.
2A2xn?1limxn?1
n??所以
**3. 证明数列2，2?2，2?2?2，?收敛，并求其极限. 解：x1=2，xn?1?2?xn（n =1，2，?）
利用数学归纳法证明数列?xn?有界 当n=1时， x1=2< 2，
假定当n=k时， xk<2, 则当n=k+1时， xk?1?2?xk?2?2?2，
?xn?2,（n =1，2，?）
xn?1?xn?2?xn?xn?于是数列?xn?递增.
22?xn?xn2?xn?xn117
??(xn?2)(xn?1)2?xn?xn?0
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