1?n?ne?1**（2）???； ??n?1????e?1?1，故?un发散． 解：记un?n?e?1?，由于limun?limn??n??1??n?1n1n1n
**（3）?a(其中a,b为异于零的实数)．
b(k?6)k?1?解：发散．
?2?(?1)n?14?**6．求级数???2?之和． n34n?1?n?1??解：已知
2??nn?134?11?323?1,?(?1)n?1n?1?1?n311?313?1 4
?224??又 ，可得的部分和 ?224n?12n?12n?1n?14n?12??22?2?2??2 Sn??2???????????????2???2n?12n?1?3??35?2n?1从而
?2???lim2????2， 因此原级数收敛，且 ?2n???2n?1?n?14n?1?4?n?1?2?(?1)n?14?????n2??34n?1???n?1?2?n3?n?1?(?1)n?11?n3?4nn?1?42?1 ?1?
13?2??． 44第8章（之4） 第39次作业
教学内容：§8.2.3正项级数的性质及其敛散性的判敛法
1． 选择题：
123
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*（1）下列级数中，发散的是 （ ）
???111?nx(x?0)； （D）?n． （A）?2； （B）?nsin； （C）?enn?12n?1nn?1n?13?答：（ B ）
*（2）下列级数中，收敛的是 （ ）
（A）
11?3?13?5?????1(2n?1)(2n?1)????；
（B）1?1111?2?1?4?????1?2(n?1)????； （C）
12?14?16?????12n????； （D）??1?2?1?3?????11??11??22?32?????????2n?3n??????． *（3）下列级数中，发散的是 （A）1?2223?2n32?????3n????；
（B）1?122?132?????1n2????； （C）1?12!?13!?????1n!????； （D）
11001?1112001?3001?????1000n?1????．
2. 判断下列级数的敛散性：
?1）?10n*（n?18n?9n； 解：由于 10n10n110n?8n?9n?2?9n?2(9)， 而 ?1(10n9) n?12??10n所以 n?18n?9n 发散．
124
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答：（ D ）
（ ）
答：（ D ）
发散， *（2）
?n?1?n!； nn(n?1)!11(n?1)n?1nn?lim?解：由于 lim， ?limn??1nen??n!n??(n?1)n(1?)nnn故由比值判断法知 *（3）
n!收敛． ?nn?1n
??(n?1?nn)． 3n?2n解：limn??(n1nn??1， )?limn??3n?233n?2由根值判断法知级数
?n?1?(nn)收敛． 3n?2ann!**（4）?n(a?0,a?e)；
n?1n?解：由比值判别法
an?1?n?1?!
n?1un?1annaa?n?1? lim?lim?lim?lim?nnnn??un??n??n??ean(n?1)?1?n?1??nn?n?
可见当0?a?e时，级数收敛；当a?e时，级数发散．
?
cos2n*（5）?；
n?1n(n?1)11cos2n解：记un?，则 un??2,
n?n?1?nn?n?1?125
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?1而?2收敛，因此?un收敛． n?1nn?1?
?n2?*（6）???arctann2?1??；
n?1???n??n2???????解一：un??arctan2????, 而???收敛 ,
?4???n?1??n?14nnn
故原级数收敛．
n
?n2?解二： un??arctan2??0,
n?1??由于 **（7）
?n2?limun?limarctan2?，故而级数?un收敛． n??n??n?14n?1nn?n； ?2n?2n?nn?nn?nn1，则 ， ?0??222nn?nn?nn
?解：记un??而
1发散，故所论级数发散． ?nn?11?2n?3n???99n**（8）?； n100n?1??1?2n?3n???99n?99??99?解：由于，而?99????收敛， ?n100?100?n?1?100?nn1?2n?3n???99n 所以原级数?也收敛． n100n?1? **（9）
1?2!???n!； ???n?1!n?1?126
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解：
1?2!???n!n!1， 〉??n?1?!?n?1?!n?1?
?11?2!???n!而?发散， 故级数?也发散．
??n?1n?1!n?1n?1??sinn13??1?； **（10）?n?e??n?12esinx?1?1 解：limx?0x2
所以
?sinn13??sinn13??en?e?1??1?????lim?lim?1 n??n??11nn3
1?sin3??12n?1?发散． 又?发散, 故?n?en??n?1n?1?
***3．利用级数理论，证明n??时，
11是比高阶的无穷小．
n!nn证明：先判断级数
n!的敛散性，由于 ?nn?1n?n???n?1?!n?1n?1??limn!nn?e?1?1,
所以，级数
n!收敛，于是有 ?nn?1n?n!?0,
n??nnlim
1nn上式又可变为 lim?0, n??1n!11故当n??时，n是比高阶的无穷小．
n!n
***4．将方程x?tanx的正根按递增次序排列，得数列?xn?，试证明级数
??x
n?1
?
1
2n
收敛，
而级数
?xn?11n却发散．
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