解：因为
1?1?x?x2?x3???xn???,x???1,1?, 1?xf?x??a0?a1x?a2x2?a3x3???anxn???,x?(?1,1)．
所以 当x???1,1?时，有
（a0?a1x?a2x2?a3x3???anxn???） F?x??(1?x?x2?x3???xn???）
?a0?(a0?a1)x?(a0?a1?a2)x2?(a0?a1?a2?a3)x3?? ?(a0?a1?a2???an)xn???
?n?????ak?xn． n?0?k?0?
?第8章（之8） 第43次作业
教学内容：§8.4.3函数展开为幂级数举例 间接展开法 §8.4.4函数幂级数展开式的应用 ***1. 若 f?x????cn?0n?nxn，试证:f?x?为偶函数时必有c2k?1?0?k?0,1,2,??.
f??x???cn??x?，
nn?0?解：f?x???cnx，
n?0
∴0?f?x??f??x???2ck?0?2k?1x2k?1，
∴c2k?1?0（函数０的任意阶导数都为零）．
2．展开下列函数f（x）在指定基点x0处的幂级数：
x**（1） y?1?e,x0?0；
??3tn解：因为 y?e?3e?3e?1, 而 e??,t?(??,??)．
n?0n!3x2xxt?138
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3nxn?3?2nxn?3xn所以 y???????1
n!n!n!n?0n?0n?0?3?3?2n?3nn ?8??x,x????,???．
n!n?1?**（2）f?x??ln1?x?x2?x3,??x0?0；
解：f?x??ln1?x?x2?x3?ln1?x2?1?x? ?ln1?x2?ln?1?x?
??????????n?1???1?n?1x2n???1??n?n?1xn (?1?x2?1 且 ?1??x?1) n ??x??1???1?213?11?415?11?6?x?x????x?x????x 2?35?24??36? ?
17?11?8x????x?? , 7?48?2??1?x?1?．
**（3）f?x??e4x?x解：f?x??e1??x?2?2?3,x0?2。
t?tn， 由于 e??，t????,???
n?0n!
∴e??x?2?2??n?0???1?n?x?2?2n，
n!2
∴f?x??e1??x?2??e?n?0???1?n?x?2?2nn!x????,???．
**（4）f?x??lnx,a?e；
??x?e? ?e?解：f?x??ln?e??x?e???1?ln?1??1?
?n?1???1?n?1?x?e?nnen?0?x?2e?．
**（5）f?x??sin(x??4),x0??4；
139
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?????????(?1)n????解：f?x??sin???x????cos?x?????x??,(???x???)．
4??4?n?0(2n)!?4???2?
**（6）f?x??解：f?x??2n1,a??4；
x2?3x?211111111???????? 2x?4x?432x?3x?2?x?1??x?2?x?1x?21?1?32 ?
?1??1n???x?4n?1n?1??23??n?0???6?x??2?．
**（7）f?x??lnx?1?x2，x0?0． 解：[ln(x?1?x2)]????11?x2?(1?x2)?12
131(?)(?)?(??n?1)?22(x2)n ?1??2n!n?1 ?1??n?1?(?1)n(2n?1)!!2nx (?1?x?1)，
(2n)!!(?1)n(2n?1)!!2nx]dx
(2n)!!ln(x?1?x)?2?x0[1???n?1???1?n?2n?1?!!2n?1x ?x?? (?1?x?1)，
??2n!!(2n?1)n?1`n??1??2n?1?!!当x??1时, 级数成为 ?1??(?1)2n?1是莱布尼兹型收敛级数，
n?1`?2n?!!(2n?1)?
∴lnx?1?x?2???1?n?2n?1?!!2n?1?x??x
??2n!!(2n?1)n?1`???1?x?1?．
**（8）f(x)?arctanx
?0xdx，x0?0 ．
x140
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arctaxn??x?0,
解：因为 f??x???x?x?0?12n?1?1nx而 arctanx??, x?[?1,1] ． dx????1?01?x22n?1n?0x2narctaxn?nx所以当x?0时， ????1?,x?[?1,0)?(0,1]．
x2n?1n?0x2n而 ???1??1?f?(0)．
2n?1x?0n?0?nx2n故 f??x?????1?,x???1,1?,
2n?1n?0?nf?x??f(0)??f?(x)dx????1?0n?0x?nx2n?1?2n?1?2,x???1,1?．
2***3。试将f(x)?x2ex展开成麦克劳林级数，并计算f?n??0?的值?n?1,2,3,??．
tn解：由于 e??, t????,???． 所以
n?0n!t?f(x)?xe2x2x2n?x2n?2?x???,x????,???．
n!n?0n!n?02?(2n?1)从而：f(0)?0,f(2n?2)(0)?(2n?2)!． n!
4．求下列幂级数的收敛域及和函数： **（1）
?n?0?n?1nx； n!解：limn?2n?1?0,n??(n?1)!n!r??? , 收敛域(??,??)，
?n?0?n?1nx?n!?n?1?1xn?(n?1)!x?n?0?1n1nx?xx?n!n!n?0???n?0?1nx?(x?1)ex n! 和函数s(x)?(x?1)e,(???x???).
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***（2）
?n?n?2?xn?1?1n；
解：lim1n??(n?1)(n?2)1?1, 收敛半径为 r?1；
n(n?1)当x??1时，幂级数收敛, 所以收敛域为[?1,1]. 当x?0或x?1时,有
?n?1?11xn?n?n?2?2?1?n1??xn?xn??1? ?????x?????n?2?2?n?1nn?1n?2?n?1?nxn?2 ?n?2n?1??11???ln?1?x???222x11 ??ln(1?x)?22x21当 x?0,s?0??0；x?1,s?1??2?x2????ln?1?x??x?2??． ???1?3?1????， nn?2?4n?1?????0,??3∴s?x???,?4?x2ln?1?x??x??12,??ln?1?x??22x?2
5．求下列数项级数的和： **（1）
x?0x?1
?1?x?0,0?x?12n?1； ?n!n?1?????1111解：原式=2????2??(??1)?2e?(e?1)?3e?1.
n?1(n?1)!n?1n!n?0n!n?0n!
k?1??1??2k?2k***（2）??.
??2k?1!k?1?142
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?????1?k?1?2k?2k?1?????1?k?12k???x???x?x x???????k?1?2k?1?!??k?1?2k?1?!??k?1????1?x2k?1?? ?x?x??k?1?2k?1?!???k?1??1??2k?2kx解：??2k?1?!k?1??x(xsinx)??xsinx?x2cosx，
∴ 原式=xsinx?xcosx
2x?????2.
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