证明：设F?x??tanx?x， 则 F?x?在?k?? 又因
F'?x??tan2x?0，
???2,k?????上严格单调， 2????x??k???2??????x??k???2??limF?x????，
lim?F?x????，
则F?x?在?k?????2,k?????内有且仅有一个实根． 2? 又因 x?0为????????3??,?上的一个根， 所以最小正根在?,?上， ?22??22??? 从而必有 xn??n???2,n?????2??n?1,2,??，
，而
所以
1xn2?1????n???2??12?1?2?n????1?2?2?n?1?1?2?n????1?2?2收敛，故
?x
n?1
?
1
2n
收敛。
1 又 ?xn??111，而 ? 发散，故 ? 发散． ????n?1???n?1?xn?1n?1nn??2??an?1an????***5．若数列?an?为单增有界的正项数列，试证明级数???收敛． aan?1?nn?1?证明：首先我们知道级数
?11????收敛， ??a?an?1?n?1?n?
事实上，级数
?1?11?1???????的部分和为??a???， aaan?1?nn?1?n?1??1? 所以以上结论显然成立。
设?an?的界为M，即任何n有an?M， 由于
?1?a?an??an?1?an?an?1ana?an1?? ??n?1?2Mn?1?2M????anan?1anan?1anan?1?anan?1??an?1an????收敛． ??a?an?1?n?1?n? 故有
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第8章（之5） 第40次作业
教学内容： §8.2.4任意项级数的绝对收敛和条件收敛 §8.2.5交错级数 §8.3.1函数项级数的一般概念
1． 选择题： *（1） 若级数
?un?1?n收敛，则 （ ）
???（A）
??un?1?n（B）?u2n收敛；（C）?unun?1收敛；（D）???1?un收敛． ?un?1?收敛；
nn?1n?1n?1答：（ A ）
*（2）当级数
?un?1?n收敛时，级数
???1?unn?1?n （ ）
（A）必绝对收敛； （B）必发散；
（C）部分和序列有界； （D）可能收敛也可能发散．
答：（ D ）
*（3）若级数
???un?1nn和
?vn?1n都发散，则下列级数中必发散的是 （ ）
?（A）
??un?1???vn?； （B）??un?vn?；
n?1?（C）
?uvn?1nn； （D）
??un?1n?vn?．
答：（D）
*（4）设?为常数，则级数
?sinn?1??? （ ） ??2?nn?n?1?（A）绝对收敛； （B）条件收敛；
（C）发散； （D）敛散性与?取值有关．
答：（ C ）
2. 判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散？ **（1）
?3n?1???1?n2n?1n；
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解：记 un?132n?1n 则 limun?11??1
n??u9n故原级数绝对收敛． **（2）
n?1???1?n?1?n ； n2?1n?n2?n?1解：记 un?，因为 un?1?un??0，且 limun?0， ??n2?1?n2?1??n2?2n?2?所以原级数收敛．
n 由于 limn2?1n??1?1， n故
??nn发散，因此原级数条件收敛． n?1n?11**（3）
??(?1)n?n?1n?1n?102；
解：设 f(x)?x?11x?102,f'(x)?00?x2(x?10)22x?1， x?100时，f'(x)?0,f(x)?，
而当n?100时，{n?1n?102}为单调递减数列，且limn?1n??n?102?0，? 故级数
?(?1)n?1n?1n?1n?102收敛．
(?1)n?1n?1 另一方面 limn?102?1n??1?1，而?发散。 n?1nn综合以上讨论知，级数
??(?1)n?1n?1n?1n?102 条件收敛．
?nln8**（4）???1?n；
n?1n130
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n?? ?ln8x8?lnx?ln7x'解：记f?x??， 则 f?x??， 2xx
当x?3?e时，f'?x??0，即f?x?单调递减．
88
?ln8n?故当n?3时，数列??单调递减。
n??8
ln8n?0， 且limn??nln8n所以级数???1?收敛。
nn?1?n?n
ln8n显见此级数不绝对收敛，故级数???1?条件收敛。
nn?13．***（1）若
?an?1n?n是收敛的正项级数，试证
?an?1?2n一定收敛。
证明：因为
?an?1?为收敛的正项级数， 则 liman?0，
n??
所以?n0?0，当 n?n0 时，有 |an|?1， 则 an?an2?n?n0?，
从而由比较判别法知
?an收敛。
2n?1?***（2）若级数
?an?1??2n收敛，
?an?1?n一定收敛吗？
?11解：不一定。反例?2收敛，但?发散。
n?1nn?1n??***（3）若级数
?an?1?n收敛，
?an?12n一定收敛吗？
?解：不一定。反例
???1?n?1n1n收敛(莱布尼兹型级数)，但
1 发散。 ?n?1n***（4）设
?a,?bnn都是收敛的正项级数，试证明级数
?anbn,必收敛。
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证明：由于anbn?an?bn， 且 ?an,?bn都是收敛的正项级数， 2 故级数
从而
??an?bn???收敛， ?2???anbn必收敛。
***4． 设级数
???1?ann?1n2收敛，证明?an绝对收敛。
nn?1?证明：由假设，有
an?lim2nan?0, liman2?0,于是 limx??1x??x??2nn1 而 ?n收敛，因此
n?12xx??an?1?n绝对收敛。
***5．求函数项级数 1?2?3?4???n??的收敛域. 解: 级数可写成
xxx?n??xn?1?1,这是一个p??x的p级数, 其收敛的充要条件是p?1,?xn?1n?即x??1,这就是给定函数项级数的收敛域.
第8章（之6） 第41次作业
教学内容：§8.3.2幂级数及其收敛域 §8.3.3幂级数的性质 §8.3.4幂级数的求和 1．填空题：
?an?2，则幂级数?an?x?1?n在开区间 内收敛。 *（1）如果limn??an?0n?1答：??1,3?
*（2）设幂级数
?an?0?n x的收敛半径是4，则幂级数?anx2n?1的收敛半径是 。
nn?0?答：2
?**（3）设幂级数
?cxnn?0n在收敛区间??R,R?上的和函数为s?x?，则幂级数
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?n?0???1?ncnxn?1
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