的收敛区间是__________，它在收敛区间上的和函数是 ___________。
?解：由条件
?cn?0nxn?s?x?x???R,R?，
以?x代x，得
?cn??1?xn?s??x?，
nn?0?
xcn??1?xn?1两边从0到x积分，得???s??t?dt
0n?1n?0?n?即
?n?0??1?ncnxn?1n?1??s??t?dt0xx???R,R?。
2**2．设已知x??1属于幂级数 a0?a1(x?1)?a2?x?1??? 的收敛区域，问x?2以及x?3是否一定属于收敛域?试解释之。
解：由于x??1属于幂级数的收敛域，
由此知道收敛半径不小于?1?1?2，
而收敛域至少包含有区间??1,3?，而2???1,3?,3???1,3?，
故可判定x?2属于收敛域，而x?3却不一定。 3．求下列幂级数的收敛域： **（1）
?n?1?4n?14n?1x； n4?14?n?1??14?n?1??1xn?1?4n?3?4n?1x4144?1?lim?x 解：limn??n???4n?1?4?4n?14n?14n?14x4n?1????
?144n?1由x?1，得x?2， 当x?2时， 原级数为 ??n?24n?14?14n?12，由
n??limun?0，得其发散，
故原幂级数的收敛域为?2,2．
?n
???3???1n??n**（2）试求幂级数???x的收敛域。
nn?1??133
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3???1?解：由于limnun?x??limx?0 , 所以R=?，收敛域是???,??．
n??n??nn**（3）
?n?0???1?n?x?1?2n?1．
2n?1解：liman?1ann???lim2n?1?x?1?2??x?1?2，
n??2n?3当 (x?1)2?1 即 ?2?x?0时，级数收敛；当(x?1)2?1 即 x??2及x?0时， 级数发散， ∴收敛半径为1，即在??2,0?收敛。
当x??2时，原级数为
?n?0???1?n??1?2n?12n?1??n?0???1?n?1收敛，
2n?1
当x?0时，原级数为
?2n?1收敛，
n?0???1?n
∴所以该幂级数的收敛域为??2,0?．
***4．求函数项级数
?n?1???1?n?ex?1?n的收敛域．
nnex?1?ex?1，
n??n?1解：limn?1nn????1?n?1?ex?1?n?1??1?n?ex?1??lim??n
x则由e?1?1，得 ???x?ln2。
当x?ln2时，原级数为故收敛域为(??,ln2]．
?n?1???1?n收敛。
n
****5．设数项级数
?an?0?n条件收敛，试证明幂级数
?an?0?nxn的收敛半径r?1。
证明：以x?1代入，
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?an?0?nx??an收敛，知收敛半径r?1。
nn?0?
若级数收敛半径r?1，则由阿贝尔定理知必有
??
?an?0nx 在点 x?1 处绝对收敛，即?an必绝对收敛。
nn?0
得到矛盾。 ∴r?1．
?xnx2**6．设f?x???2，试求g?x???0xf??x?dx的幂级数，并指出收敛域。
nn?1xn解：幂级数f?x???2的收敛域是??1,1?
n?1n?xn?1当x???1,1?时，有 f??x???，
n?1n????xn?1?xn?2? g?x????． dx ????0?n?1n?n?2??n?1n?xxn?2又因为当x?1时，?收敛，
n?1n?n?2??xn?2所以 g?x???，x???1,1? ．
??nn?2n?1?**7．设u?x?,v?x?,w?x?分别是下列三个幂级数在实轴上的和函数，即
u?x??1?131619x?x?x??3!6!9!111111v?x??x2?x5?x8?x??
2!5!8!11!11110w?x??x?x4?x7?x??4!7!10!333 试证明在整个实轴上有u?v?w?3uvw?1。
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证明：显然u?x?,v?x?,w?x?的定义域为???,???，
且u'?x??v?x?， v'?x??w?x?，
w'?x??u?x?。
记 f?x??u3?v3?w3?3uvw，则
f'?x??3u2u'?3v2v'?3w2w'?3u'vw?3uv'w?3uvw'?3u2v?3v2w?3w2u?3v2w?3uw2?3u2v
?0 ?f(x)在(??,??)上为一常数．
由u?0??1,v?0??w?0??0可知 f?x??c?f?0??1，
?1． ? u3?v3?w3?3uvw?8．求下列幂级数在收敛域内的和函数，并求对应数项级数的和： **（1）
?nxn?1?n?1，
?nen?1?n ；
解：考虑由
?xn?1?n?x1?x?x?1?，
1 两边求导，得
?nxn?1?n?1??1?x?2，
令x?e，得
??1?ne?n?1?n?1?1?1?e?e2?12，
∴
?ne?n?n?1?1e1?e??12??e?1???．
**（2）
?n?n?1?xn?2n?2，
?n?2n?n?1?． n2136
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解：由上题
?nxn?1?n?1?1?1?x?2，两边求导，
?n?n?1?xn?2?n?2?2， 3?1?x?1
令x?，代入上式得
2
?1???nn?1????2?n?2?n?2?16，
∴
n?n?1??4． ?n2n?2?第8章（之7） 第42次作业
教学内容：§8.4.1泰勒级数 §8.4.2几个初等函数的麦克劳林展开式 ***1.
?f?n??x0??如果f?x?在x0点的某个邻域内任意阶可导，那么幂级数???x?x0?n?
n!n?0??? 的和函数为 ( )
(A) 必是f?x?， (B)不一定是f?x?， (C)不是f?x?， (D)可能处处不存在。 答：（B） **2、
试求f?x??asinx?a?0,a?1?的麦克劳林级数至含x3的项。
解：由于 f??x??a
sinx?cosx?lna
sixnn ?cos2x?lna?sinx?asix f???x??lna?a21f????x??ln3a?cos3x?asinx?ln2a?sin2x?asinx?lna?cosx?asinx?ln2a?sin2x?asinx2所以 f?0??1,f??0??lna,f???0??ln2a，
f????0??lnaln2a?1．
故麦克劳林级数为：
??ln2a2lnaln2a?131?lna?x?x?x?? ．
26??****3． 设f?x???anxn的收敛半径为1，试将F?x??n?0?f?x?展开为x 的幂级数．
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