由数列的单调有界收敛准则，得?xn?收敛. 设a?limxn，
n??则由xn?1?n??（a= -1舍去）. 2?xn，取n??，得a?2?a，解得a=2，
?limxn?2.
nα***4. 已知limβ?1000，求常数?与?之值.
n??n?(n?1)βnα??nα??n????1?lim?lim解：原式=lim，
n??1?(1?1)βn??n??1?n?n[这里用到了等价无穷小关系式(1?x)??1~?x] 仅当α?β?1?0时，原极限才存在且等于
1?，
由
1?=1000，得?=
1999，从而????1??.
10001000
5.利用定积分或广义积分计算下列极限：
***（1）若f(x)在[a,b]上连续，则根据定积分定义有：
lim?f(a?kn??k?1nbb?ab?a)???f(x)dx，
ann试用上式求极限： lim?111??1. ??????n??n?1n?2n?3n?n??1n1i解：原式=lim?。将区间 [0，1] 作n 等分，并取 ?i?xi?（i?1,2?n），
n??nini?11?n则 ?xi?xi?xi?1?1, nnnb1n11lim??lim??xi?lim?f(?i)?xi??f(x)dx，
an??nn??n??i1??i?1i?1i?1i1?n118
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其中 f(x)?1,a?x0?0,b?xn?1, 1?xn11n111?lim??xi??dx. 则 lim?0n??nn??i1?xi?1i?11??i1?n而
dx?01?x?ln2， 所以原极限为ln2.
x***（2）limn???k?1nekn；
n?ne2knn11eknex?x1 解：原式=lim?? ?dx?arctane?arctane?kn2?01?(ex)2n??0n41?(e)k?1***（3）若将上两题中闭区间[a,b]改为(a,b]或[a,b)，则某些数列极限可用广义积分来计算，试求下列极限：
limn??1111(????)． n12ni1（1?i?n），?xi?, nn解： 将（0，1] 区间n等分，取?i?xi?limn??1n(11?12???1n)?lim?(n??i?1n11nn111)?lim?()?lim??xi，
n??n??niixii?1i?1n10n若记f(x)?1x，则原式就等于广义积分
?10dxx 的值, 而
?dxx?2，
所以所求极限为2.
ax?bx2?x2n?1***6. 求a,b，使函数 f(x)?lim 在(??,??)上连续． 2nn??x?1ax?bx2?x2n?1解：当x?1时, f(x)?limn??x2n?1axbx2x2n?1?2n?2n2n1xx?limx?， 2nn??xx?1x2n同理，当x?1，f(x)?ax?bx，所以
2119
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?ax?bx2,?1?,?xf(x)??1?2(b?a?1),?1?(b?a?1),?2x?1x?1x??1x?1x?1?x?1?
由于f(x) 在(??,??)上连续，则 limf(x)?limf(x)，有 a?b?1， 同理，由limf(x)?limf(x)， 有 ?a?b??1，
x??1?x??1?所以 a?1,b?0.
***7. 设函数f(x)?lim1?x，讨论f(x)的间断点．
n??1?x2n?0,??1?x,解：f(x)???1,??0,x?1x?1x?1x??1 ，
f(?1?0)?0，f(?1?0)?0，f(?1)?0，f(1?0)?2，f(1?0)?0， 点x?1 是函数f(x)的第一类（跳跃型）间断点.
第8章（之3） 第38次作业
教学内容：§8.2.1无穷级数的基本概念 §8.2.2收敛级数的基本性质
1． 选择题： *（1）若级数
?un的部分和Sn?n?1?1n(n?1)(2n?1)，其一般项un是 （ ） 12n(n?1)n(n?1)(n?1)(n?1)n2（A）； （B）； （C）； （D）．
2222答：( D )
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*（2）设级数
?an?1?n收敛，其和为S，则级数
?(an?1?n?an?1?an?2)收敛于 （ ）
（A）S?a1； （B）S?a2； （C）S?a1?a2； （D）S?a2?a1．
答：（ B ）
*（3）若级数
?un?1?n收敛，其和S?0，则下述结论成立的是 （ ）
??1（A）?(un?S)收敛；（B）?收敛；（C）?un?1收敛；（D）?un收敛．
un?1n?1n?1n?1n??答：（ C ）
**（4）指出下列命题中之正确者为 （ ）
（A）若limun?0，则
n????un?1?n收敛； （B）若lim(un?1?un)?0，则
n????un?1?n收敛；
（C）若
?un?1n收敛，则limun?0； （D）若
n???un?1n发散，则limun?0．
n??答：（ C ）
?11????*2．若limun???,un?0，则级数??之和为______ ． ?n??un?1?n?1?un?答：
1 u1
**3．设?an?单调减少，且收敛于0，问级数
??an?1?n是否收敛？
?111答：?an不一定收敛。例如,2都单调减少而收敛于0，但?发散，
nnn?1n?1n而级数
1收敛． ?2nn?1
?
4．利用定义判断下列级数的敛散性，若收敛则求其和：
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*（1）
111??????；
1?22?33?4
解：级数的部分和
Sn?
111????1?22?3n?n?1
?(2?1)?(3?2)???(n?1?n) ?(n?1?1)
n??
所以limSn??，故级数为发散． *（2）
n ． ?n?1(n?1)!?解：级数的一般项
un?n11??
(n?1)!n!(n?1)!
级数部分和
Sn?(
111111?)?(?)???(?)1!2!2!3!n!(n?1)!
1?1?(n?1`)!
所以limSn?1，此即级数收敛，且其和为1．
n??
5．判断下列级数的敛散性： **（1）
?sinn?1?n?； 6解：un?sinn?， 6k??因limu12k?3?limsink??(12k?3)??1?0
6
故limun?0，所以
n???sinn?1?n?发散． 6
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