2010－2011学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷 数 学 Ⅰ试 题 2011.1
x2y23、方程 + = 1 的曲线是焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是 ▲ m4－m答案：m?0
y2x29、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的中心为O，右焦点为F、右顶点为A，右准线与x轴的交点为H，
ab|FA|则的最大值为 ▲ |OH|
13、设M1(0，0)，M2(1，0)，以M1为圆心，| M1 M2 | 为半径作圆交x轴于点M3 (不同于M2)，记作⊙M1；
以M2为圆心，| M2 M3 | 为半径作圆交x轴于点M4 (不同于M3)，记作⊙M2；……； 以Mn为圆心，| Mn Mn+1 | 为半径作圆交x轴于点Mn+2 (不同于Mn+1)，记作⊙Mn；…… 当n∈N*时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙Mn交于An，Bn．考察下列论断： 当n＝1时，| A1B1 |＝2；
当n＝2时，| A2B2 |＝15； 当n＝3时，| A3B3 |＝
35?42＋23－1335?43－24－13；
当n＝4时，| A4B4 |＝
；
……
由以上论断推测一个一般的结论：对于n∈N*，| AnBn |＝ ▲
17、（本题满分15分）已知圆C:(x?2)?y?4，相互垂直的两条直线l1、l2都过点A(a,0). （Ⅰ）当a?2时，若圆心为M(1,m)的圆和圆C外切且与直线l1、l2都相切，求圆M的方程； （Ⅱ）当a??1时，求l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值，并求此时直线l1的方程. 解：（Ⅰ）设圆M的半径为r，易知圆心M(1,m)到点A(2,0)的距离为2r，
222??(1?2)?m?2r∴?……………………………………………………………4分 222??(1?2)?m?(2?r)22解得r?2且m??7∴圆M的方程为(x?1)2?(y?7)2?4…………………7分
（Ⅱ）当a??1时，设圆C的圆心为C，l1、l2被圆C所截得弦的中点分别为E,F，弦长分别为d1,d2，因为四边形AECF是矩形，所以CE?CF?AC?1,即
222
22????dd????12?4??????4?????1，化简得 …………………………10分 ???2???2??????从而d1?d2?22?d12?d2?214，等号成立?d1?d2?14，
?d1?d2?14时，?(d1?d2)max?214，
即l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值为214 …………………………………13分 此时d1?14，显然直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为：y?k(x?1)，则 kk2?1?4?(142，?k??1， )2∴直线l1的方程为：x?y?1?0或x?y?1?0 …………………………15分
江苏省2010高考数学模拟题(压题卷)
x2y28．已知F1、F2分别是椭圆2?2?1，(a?b?0)的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为
ab半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于3?1．
三、解析几何题
1．已知过点A(?1,0)的动直线l与圆C:x2?(y?3)2?4相交于P,Q两点，M是PQ中点，l与直线m:x?3y?6?0相交于N．
(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C; (2)当PQ?23时，求直线l的方程;
?????????(3)探索AM?AN是否与直线l的倾斜角有关?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．
1解：(1)?l与m垂直，且km??,?k1?3,
3故直线l方程为y?3(x?1),即3x?y?3?0.
?圆心坐标（0，3）满足直线l方程，
?当l与m垂直时，l必过圆心C．
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x??1符合题意．
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y?k(x?1),即kx?y?k?0，
?PQ?23,?CM?4?3?1，则由CM??k?3k2?1?1，得k?4， 3?直线l:4x?3y?4?0.
故直线l的方程为x??1或4x?3y?4?0.
???????????????????????????????????????????????(3)?CM?MN,?AM?AN?(AC?CM)?AN?AC?AN?CM?AN?AC?AN.
????????55①当l与x轴垂直时，易得N(?1,?), 则AN?(0,?),又AC?(1,3)，
33??????????????????AM?AN?AC?AN??5．
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y?k(x?1),
?????y?k(x?1),?3k?6?5k?5?5k,), 则AN?(,). 则由?得N(1?3k1?3k1?3k1?3kx?3y?6?0,???????????????????5?15k?AM?AN?AC?AN????5.
1?3k1?3k??????????????????综上所述，AM?AN与直线l的斜率无关，且AM?AN??5．
x22．已知A、B是椭圆?y2?1的左、右顶点，直线x?t(?2?t?2)交椭圆于M、N两点，
4经过A、M、N的圆的圆心为C1，经过B、M、N的圆的圆心为C2． (1)求证C1C2为定值；
(2)求圆C1与圆C2的面积之和的取值范围． 解：(1)由题设A（-2，0），B（2，0），
?x?t，t2t2?2由?x解出M(t,1?),N(t,?1?)． 244??y?1，?43(t?2)t2设C1(x1,0),C2(x2,0)，由x1?2?(t?x1)?1?解出x1?．
842同理，2?x2?(x2?t)2?1?3(t?2)3t解出x2? ，C1C2?x2?x1?(定值)．
824
(2)两圆半径分别为x1?2? 两圆面积和S?3t?1010?3t及2?x2?， 88222??(3t?10)?(10?3t)?(9t?100)， ??6432???25?7??所以S的取值范围是?,?．
84??
3．已知圆F1:(x?1)2?y2?16，定点F2(1,0),动圆过点F2，且与圆F1相内切． (1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且?ABF1的面积为求直线l的方程． 解：(1)设圆M的半径为r，
因为圆M与圆F1内切，所以MF2?r， 所以MF1?4?MF2，即MF1?MF2?4． 所以点M的轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆，
x2y2设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，其中2a?4,c?1，所以a?2,b?3．
ab3， 2x2y2?1． 所以曲线C的方程?43(2)因为直线l过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S?ABF1?2S?AOF1． 因为S?ABF1?33，所以S?AOF1?．
42133,x1??3， 不妨设点A(x1,y1)在x轴上方，则S?AOF1??OF1?y1?，所以y1?242即：A点的坐标为(3,33)或(?3,)， 221所以直线l的斜率为?，故所求直线方程为x?2y?0．
2
4．已知圆C的圆心在抛物线x2?2py(p?0)上运动，且圆C过A(0,p)点，若MN为圆C在x
轴上截得的弦. (1)求弦长MN； (2)设AM?l1,AN?l2，求
l1l2
?的取值范围． l2l1
解：(1)设C(x0,y0)，则圆C的方程为：
2(x?x0)2?(y?y0)2?x0?(y0?p)2．[来源:学科网]
22令y?0，并由x0?2py0，得x2?2x0x?x0?p2?0，
解得x1?x0?p,x2?x0?p,从而MN?x2?x1?2p， (2) 设?MAN??，
11因为S?MAN?l1?l2?sin??OA?MN?p2，
222p2所以l1l2?，因为l12+l22-2 l1 l2cosθ=4p2 ，
sin?所以
l12+l22=4p24p21?cos??4p2(1?). sin?tan?22所以
l1l2l?l???l2l1l1l2214p2(1?1)sin?tan??2(sin??cos?)?22sin(??45?)． 22p因为0???900，所以当且仅当??45?时，原式有最大值22，当且仅当??90?时，原式有最小值为2，从而
l1l2?的取值范围为[2,22]． l2l12011届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题
1
5.若双曲线经过点(3,2)，且渐近线方程是y=±x，则这条双曲线的方程是
3
x2?1 答案：y?9210.若点P是曲线y=x2-lnx上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为 答案：2 12. 若过点A(a,a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3=0的两条切线，则实数a的取值范围是
3答案：a??3或1?a?
2