18．(本小题满分16分)已知圆C通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1),且圆C在点P处的切线的斜率为1.
（1）试求圆C的方程；
→→→→
（2）若点A、B是圆C上不同的两点，且满足CP?CA=CP?CB，
①试求直线AB的斜率；
②②若原点O在以AB为直径的圆的内部，试求直线AB在y轴上的截距的范围。 18.（1）设圆方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0，则圆心C(?DE,?)，且PC的斜率为-1……2分 22?1?E?F?0?4?2D?F?0?D2?m????22所以?……………………………………………………………5分
E???0?2??1?D???m?2?D?1?E?5?解得?，所以圆方程为x2?y2?x?5y?6?0……………………7分
?F??6??m??3→→→→
（2）①CP?CA=CP?CB?CP?(CA?CB)?0?CP?AB?0?CP?AB，
所以AB斜率为1…………………10分
②设直线AB方程为y?x?t，代入圆C方程得2x2?(2t?6)x?t2?5t?6?0
????0??7?t?3?设A(x1,y1),B(x2,y2)，则?x1?x2??t?3
?t2?5t?6?x1x2?2?原点O在以AB为直径的圆的内部，即OA?OB?0?x1x2?y1y2?0………………14分 整理得，t2?2t?6?0??7?1?t?7?1…………………16分
江苏省淮州中学2010—2011学年度第一学期中考试
高三数学试卷
6． 若曲线f(x)?x4?x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为 ▲ ．
答案：（1，0） 二、解答题
17．（本小题满分15分）已知点P（1，3），圆C： (x?m)?y?线y2?2px(p>0)的焦点，直线PF与圆相切.
（1）求m的值与抛物线的方程；
22932过点A（1，?），F点为抛物22
????????（2）设点B(2,5)，点 Q为抛物线上的一个动点，求BP?BQ的取值范围．
解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，
?32?9得(1?m)???． ∴m＝1．
?2???2??229． 2当直线PF的斜率不存在时不合题意。 当直线PF的斜率存在时，设为k， 则PF1：y?k(x?1)?3， 即kx?y?k?3?0．
圆C：(x?1)2?y2?∵直线PF与圆C相切， |k?0?k?3|32∴． ?22k?1解得k?1,或k??1．
当k＝1时，直线PF1与x轴的交点横坐标为?2，不合题意，舍去．
当k＝?1时，直线PF1与x轴的交点横坐标为4，
?p
?4 那么抛物线方程为y2?16x 2 2
，
????????（Ⅱ）BP?(?1,?2)，设Q（x，y），BQ?x(?,2y?)5????????BP?BQ??(x?2)?(?2)(y?5)??x?2y?12．
y21???2y?12??(y?16)2?28?28
1616????????所以BP?BQ的取值范围为???,28?．
M 江苏连云港市2011届高三上学期第一次调研考试（数学）数学Ⅰ试题
x2y210.双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、
ab右”四个区域（不含边界），若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取
值范围是 ▲ ．
F1 y O F2 x N （第18题）
答案：1,5二、解答题
??
18.（本小题满分16分）
x2y231如图，椭圆2?2?1(a?b?0)过点P(1,)，其左、右焦点分别为F1,F2，离心率e?，M,N是
ab22??????????椭圆右准线上的两个动点，且F1M?F2N?0．
（1）求椭圆的方程； （2）求MN的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论． 解:（1）?e?c13?，且过点P(1,)， a229?1??a24b2?1,??x2y2?a?2,??1.…………4分 ?椭圆方程为 ??a?2c, 解得?43??a2?b2?c2,?b?3,??????????????????????(2)设点M(4,y1),N(4,y2) 则F1M?(5,y1),F2N?(3,y2),F1M?F2N?15?y1y2?0， 1515?y1y2??15， 又?MN?y2?y1?－?y1?+y1≥215，
y1y1 ?MN的最小值为215．………………………10分
(3)圆心C的坐标为(4,2y2?y1y1?y2. )，半径r?22y1?y22(y2?y1)2)?圆C的方程为(x?4)?(y?， 24整理得：x2?y2?8x?(y1?y2)y?16?y1y2?0. …………16分
?y1y2??15，?x2?y2?8x?(y1?y2)y?1?0
令y?0，得x2?8x?1?0，?x?4?15.
? 圆C过定点(4?15,0).………………16分
21.（本小题满分10分）
已知动圆P过点F(0,)且与直线y??y 141相切. 42 F P 2 O x 第22题
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点F作一条直线交轨迹C于A,B两点，轨迹C在A,B两点处的切线相交于点N，M为线段AB的中点，求证：MN?x轴.
解：（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心P的轨迹C的方程为x2?y…………4分
22（2）证明：设A(x1,x1 ∵y?x2， ∴ y??2x，∴ AN, BN的斜率分别为2x1, 2x2， ), B(x2,x2)，22故AN的方程为y?x1?2x1(x?x1)，BN的方程为y?x2?2x2(x?x2) …7分 2?x1?x2x1?x2?y?2x1x?x1x?x?即?，两式相减，得，又， NM222??y?2x2x?x2∴ M, N的横坐标相等，于是MN?x………………10分
江苏省南通中学2010—2011学年度高三第一学期中考试数学
6． 若曲线f(x)?x4?x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为 ▲ ．
答案：（1，0）
2011届江苏高考数学权威预测题
1x2y27、若双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近
4ab线方程是 ▲ .
答案：x?3y?0
10、两圆x2?y2?2ax?a?4?0(a?R?)和x2?y2?4by?1?4b?0(b?R?)恰有三条共切线，则
11?的最小值为 ▲ . ab答案：1、 二、解答题
18、（16分）如图，在平面直角坐标系中，方程为x?y?Dx?Ey?F?0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上 .
（1）求证：F?0；
（2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且
y 22D????????AB?AD?0，求D2?E2?4F的值；
OH?AB且（3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，
垂足为H.试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由.
OAHB
MGCx
解:（1）证法一：由题意，原点O必定在圆M内，
即点(0,0)代入方程x2?y2?Dx?Ey?F?0的左边后的值小于0，于是有F?0，即证. …………4分
证法二：由题意，不难发现A、C两点分别在x轴正负半轴上. 设两点坐标分别为
A?a,0?， C?c,0?，则有ac?0.
对于圆方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，当y?0时，可得x?Dx?F?0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有xAxC?ac?F.
因为ac?0，故F?0. ………………4分 （2）不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD面积S?2AC?BD，因为S?8，AC?2，可得2BD?8. ………………6分
????????又因为AB?AD?0，所以?A为直角，而因为四边形是圆M的内接四边形，故
BD?2r?8?r?4. ………………8分
D2E2??F?r2，所以 对于方程x?y?Dx?Ey?F?0所表示的圆，可知4422D2?E2?4F?4r2?64. ………………10分
（3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为A?a,0?，B?0,b?，C?c,0?，D?0,d?.
?????cd?cd??则可得点G的坐标为?,?，即OG??,?. ………………12分
?22??22?????????????又AB???a,b?，且AB?OH，故要使G、O、H三点共线，只需证AB?OG?0即可.
????????bd?ac22而AB?OG?，且对于圆M的一般方程x?y?Dx?Ey?F?0，
2当y?0时可得x?Dx?F?0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标， 于是有xAxC?ac?F. ………………14分
2同理，当x?0时，可得y?Ey?F?0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，于是有
2yByD?bd?F.