原子物理学习题解答
第一章 原子的基本状况
1.1 若卢瑟福散射用的?粒子是放射性物质镭C放射的，其动能为7.68?10电子伏特。散射物质是原子序数Z?79的金箔。
?试问散射角??150所对应的瞄准距离b多大？
解：根据卢瑟福散射公式：
'6ctg得到：
?2?4??0Mv222Zeb?4??0K?Ze2b
b?Zectg2?24??0K?122?79?(1.60?10)ctg(4??8.85?10?12192)?(7.68?10?1015026??19)?3.97?10?15米
式中K??Mv是?粒子的功能。
1.2已知散射角为?的?粒子与散射核的最短距离为rm?(14??0)2ZeMv22(1?1sin?2) ，试问上题?粒
子与散射的金原子核之间的最短距离rm多大？
解：将1.1题中各量代入rm的表达式，得：rmin?(?19214??01)2ZeMv)
22(1?1sin?2)
?9?10?94?79?(1.60?106)7.68?10?1.60?10?14?19?(1?sin75??3.02?10米
1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个?e电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？
?解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180。当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。 根据上面的分析可得：
12Mv2?Kp?Ze24??0rmin?19，故有：rmin?Ze24??0K
p?9?10?979?(1.60?106)210?1.60?10?19?1.14?10?13米
由上式看出：rmin与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为
1.14?10?13米。
7?71.4 钋放射的一种?粒子的速度为1.597?10米/秒，正面垂直入射于厚度为10?米、密度为1.932?10公斤/米的金箔。
43试求所有散射在??90的?粒子占全部入射粒子数的百分比。已知金的原子量为197。
解：散射角在????d?之间的?粒子数dn与入射到箔上的总粒子数n的比是：
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dnn?Ntd?
其中单位体积中的金原子数：N?而散射角大于90的粒子数为：dn0?/mAu??N0/AAu
'??dn?nNt??d?2?
dn所以有：
'n?Nt??d?2???N0AAu?t?(14??0)?(22ZeMu22)2?90?180?cossin3??2d? 2等式右边的积分：I??90?180?cossin3??2d??2?180??902dsinsin3??2?1
2?6dn故
'n??N0AAu?t?(714??0)?(22ZeMu22)2?8.5?10??8.5?10?400
即速度为1.597?10米/秒的?粒子在金箔上散射，散射角大于90以上的粒子数大约是8.5?10??400。
1.5 ?粒子散射实验的数据在散射角很小时与理论值差得较远，时什么原因？ （??15）答：?粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。而?粒子通过金属箔，经过好多原子核的附近，实际上经过多次散射。至于实际观察到较小的?角，那是多次小角散射合成的结果。既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用。所以，?粒子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远。
1.6 已知?粒子质量比电子质量大7300倍。试利用中性粒子碰撞来证明：?粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。
??'?'???'Mv?Mv?mv证明：设碰撞前、后?粒子与电子的速度分别为：v,v',0,ve。根据动量守恒定律，得：??e
'由此得：v??v????mM122?'ve?21730012?'ve …… (1)
'2又根据能量守恒定律，得：
Mv??'2Mv??212mv'2e
v??v??mM've ……（2）
将（1）式代入（2）式，得：
v??v?2'2??'2?7300(v??v?)整理，得：v?(7300?1)?v?(7300?1)?2?7300v?v?cos??0
2'2'?7300?1??'2?上式可写为：7300（v??v?)?0
??'?v??v??0即?粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。
1.7能量为3.5兆电子伏特的细?粒子束射到单位面积上质量为1.05?10在离L=0.12米处放一窗口面积为6.0?10原子量为107.9。试求银的核电荷数Z。
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?52?2公斤/米的银箔上，?粒子与银箔表面成60?角。
2米的计数器。测得散射进此窗口的?粒子是全部入射?粒子的百万分之29。若已知银的
解：设靶厚度为t。非垂直入射时引起?粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度t，而是t?t/sin60，如图1-1所示。 因为散射到?与??d?之间d?立体 角内的粒子数dn与总入射粒子数n的比为：
'''?20o 60° dnn?Ntd?14??0 (1)
t而d?为：d??(, )(2zeMv22)2d?sin4?2 （2）
60o t 图1.1 把（2）式代入（1）式，得：
dnn?Nt(14??0)(2zeMv22)2d?sin4?2……（3）
式中立体角元d??ds/L,t?t/sin60'2'0?2t/''3,??20
?10N为原子密度。Nt为单位面上的原子数，Nt??/mAg??(AAg/N0)，其中?是单位面积式上的质量；mAg是银原子的质量；
AAg是银原子的原子量；N0是阿佛加德罗常数。
将各量代入（3）式，得：dnn?2?N03AAg(14??0)(2zeMv22)2d?sin4，由此，得：Z=47 ?2?1061.8 设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为10米的球形原子内，如果有能量为10电
0子伏特的?粒子射向这样一个“原子”，试通过计算论证这样的?粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于90的散射。这个结论与卢瑟福实验结果差的很远，这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影响可以忽略）。
解：设?粒子和铅原子对心碰撞，则?粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量有下式决定：
12Mv2?2Ze62/4??0R?3.78?10?16焦耳?2.36?10电子伏特3
由此可见，具有10电子伏特能量的?粒子能够很容易的穿过铅原子球。?粒子在到达原子表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排
2223斥力不同，它们分别为：F?2Ze/4??0R和F?2Zer/4??0R。可见，原子表面处?粒子所受的斥力最大，越靠近原子的中心?粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使?粒子发生散射最强的垂直入射方向的分力越小。我们考虑粒子散射最强的情形。
22设?粒子擦原子表面而过。此时受力为F?2Ze/4??0R。可以认为?粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作用，即作用距离为原子的直径D。并且在作用范围D之内，力的方向始终与入射方向垂直，大小不变。这是一种受力最大的情形。
根据上述分析，力的作用时间为t=D/v,
?粒子的动能为
t12Mv2?K，因此，v?222K/M，所以，t?D/v?DM/2K
根据动量定理：
2?t0Fdt?p??p??Mv??0，而?Fdt?2Ze/4??0R0220?t0dt?2Zet/4??0R，所以有：
222Zet/4??0R2?Mv?，由此可得：v??2Zet/4??0RM，?粒子所受的平行于入射方向的合力近似为0，入射方向上速度
不变。据此，有：
tg??v?v?2Zet/4??0RMv?2ZeD/4??0RMv?322222
?2.4?10这时?很小，因此tg????2.4?10?3弧度，大约是8.2。这就是说，按题中假设，能量为1兆电子伏特的?‘第 3 页 共 38 页
粒子被铅原子散射，不可能产生散射角??90的散射。但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下，当?粒子无限靠近原子核时，
000会受到原子核的无限大的排斥力，所以可以产生??90的散射，甚至会产生??180的散射，这与实验相符合。因此，原子的汤姆逊模型是不成立的。
第二章 原子的能级和辐射
2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。 解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。根据量子化条件，
p??mvr?n速度：v加速度：
h2?可得：频率 ??v2?a16?nh2?ma12?h2?ma12?6.58?1015赫兹
?2?a1??h/ma1?2.188?102222米/秒
2w?v/r?v/a1?9.046?10米/秒
2.2 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。
解：电离能为Ei?E??E1，把氢原子的能级公式En??Rhc/n代入，得：Ei?RHhc(2112?1?)?Rhc=13.60电
子伏特。电离电势：Vi?Eie?13.60伏特，第一激发能：Ei?RHhc(112?122)?34Rhc?34?13.60?10.20电子
伏特，第一激发电势：V1?E1e?10.20伏特
2.3 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？ 解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：
E?hcRH(112?1n12) 其中hcRH?13.6电子伏特
E1?13.6?(1?E2?13.6?(1?E3?13.6?(1?213142)?10.2电子伏特 )?12.1电子伏特 )?12.8电子伏特
22其中E1和E2小于12.5电子伏特，E3大于12.5电子伏特。可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到n?4的能级上去，所以只能出现n?3的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的波长为：
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1?1?RH(12?2?132)?5RH/36?1?6565A1?2?RH(112?122)?34RH
??2?1215A1?3?RH(112?132)?89RH??3?1025A2.4 试估算一次电离的氦离子He、二次电离的锂离子Li的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。
解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些。 a) 氢原子和类氢离子的轨道半径：
??r?4??0hn4?mZe2222?a122n2Z,n?1,2,3???10其中a1?4??0h4?me2?0.529177?10米，是氢原子的玻尔第??一轨道半径；
Z是核电荷数，对于因此，玻尔第一轨道半H,Z?1；对于H,Z?2；对于Li径之比是rHerH2，Z?3；??ZHZH22?e?ZH1rLi??1,??2rHZLi??3Zn22b) 氢和类氢离子的能量公式：E??2?meZ224(4??0)nh?E1?,n?1,2,3??
其中E1??2?me2242(4??0)h??13.6电子伏特，是氢原子的?2He2H2Li??基态能量。
0?EHe0?EH电离能之比：
?ZZZ?4,
0?ELi??0?EH?Z2H?9222EHe?EHeEH?EHc)
第一激发能之比：
2121E1?E1E1?E12212222?E1?E1?E1?E12221?4211222
33EE2Li2H?E?E1Li1H22121?921122第 5 页 共 38 页