5.9 根据LS耦合写出在下列情况下内量子数J的可能值 （1）L?3,S?2，（2）L?3,S?72，（3）L?3,S?32
解：（1）因为J?L?S,L?S?1,.....,L?S，所以（2）类似地，J?6J?5,4,3,2,1,共2S+1=5个值。
1221111（3）同样地，可得：J?3,2,1,。
2222,512,412,312,21,111,共有7个值。这里L 第六章 磁场中的原子 6.1 已知钒原子的基态是F3/2。（1）问钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为几束？（2）求基态钒原子的有效磁矩。 解：（1）原子在不均匀的磁场中将受到力的作用，力的大小与原子磁矩（因而于角动量）在磁场方向的分量成正比。钒原子基态F3/2之角动量量子数J?3/2，角动量在磁场方向的分量的个数为2J?1?2?分裂为4束。 （2）?J?g4432?1?4，因此，基态钒原子束在不均匀横向磁场中将 e2m1521PJ，PJ?J(J?1)h?152h，按LS耦合：g?1?J(J?1)?L(L?1)?S(S?1)2J(J?1)?615?25 ??J?252m?e??h?1155?B?0.7746?B ~6.2 已知He原子P1?S0跃迁的光谱线在磁场中分裂为三条光谱线，其间距?v?0.467/厘米，试计算所用磁场的感应强度。 ~解：裂开后的谱线同原谱线的波数之差为：?v?11?'?1?2?(m2g2?m1g1)Be4?mc 氦原子的两个价电子之间是LS型耦合。对应P1原子态，M?1,0,?1；S?0,L?1,J?1，对应S0原子态，M1?0， 1~?Be/4?mc?0.467/厘米。 ~?(1,0,?1)Be/4?mc，又因谱线间距相等：?vS?0,L?0,J?0.g1?1?g2。?v?B?4?mce?0.467?1.00特斯拉。 226.3 Li漫线系的一条谱线(3D3/2?2P1/2)在弱磁场中将分裂成多少条谱线？试作出相应的能级跃迁图。 解：在弱磁场中，不考虑核磁矩。 3D3/2 2能级：l?2,S?12,j?32, 第 21 页 共 38 页 M?3113,,?,?2222j(j?1)?l(l?1)?s(s?1)2j(j?1)12 g2?1?2?45 2P1/2 能级：l?2,S?,j?12, M?~?(??v2630212,?12,g1?2,223,,?2230,?22226,)L 30303030所以：在弱磁场中由3D3/2?2P1/2跃迁产生的光谱线分裂成六条，谱线之间间隔不等。 无磁场 2 有磁场 D3/2 M 3/2 106/3 1/2 -1/2 -3/2 1/2 2 P1/2 -1/2 ? ? ? ?? ? ?6.4 在平行于磁场方向观察到某光谱线的正常塞曼效应分裂的两谱线间波长差是0.40该谱线原来的波长。 A。所用的磁场的B是2.5特斯拉，试计算 解：对单重项（自旋等于零）之间的跃迁所产生的谱线可观察到正常塞曼效应。它使原来的一条谱线分裂为三条，两个?成分，一个?成分。?成分仍在原来位置，两个?成分在?成分两侧，且与?成分间的波数间隔都是一个洛仑兹单位L。又 ~?1,?v~??(1)????/?2，符号表示波长增加波数减少。根据题设，把??近似地看作?成分与?成分间的波长差，则有：v??~???/?2?L。其中L?Be/4?mc。因此，???v???L1?4.1405?10??7?米?4140.5A 6.5氦原子光谱中波长为6678.1A(1s3dD2?1s2pP1)及7065.1A(1s3sS1?1s2pP0)的两条谱线，在磁场中发生塞曼效应时应分裂成几条？分别作出能级跃迁图。问哪一个是正常塞曼效应？哪个不是？为什么？ 解：（1）D2谱项：L?2,S?0,J?2,M112113??2,?1,0,g2?1。 P1谱项：L?1,S?0,J?1,M1??1,0,g1?1 第 22 页 共 38 页 ~?(?1,0,?1)L。可以发生九种跃迁，但只有三个波长，所以??6678.1A的光谱线分裂成三条光谱线，且裂开的两谱线与?v原谱线的波数差均为L，是正常塞曼效应。 （2）对 3?S1能级：L?0,S?1,J?1,M2??1,0,g2?200 对P0能级：L?1,S?1,J?0,M1?0,g1??3，M1g1?0 ~?(?2,0,?2)L?v，所以??7065.1A的光谱线分裂成三条，裂开的两谱线与原谱线的波数差均为2L，所以不是正常塞曼 效应。 6.6 ?Na原子从3P1/2?3S1/2跃迁的光谱线波长为5896A22，在B=2.5特斯拉的磁场中发生塞曼分裂。问从垂直于 ?磁场方向观察，其分裂为多少条光谱线？其中波长最长和最短的两条光谱线的波长各为多少 解：对于32A？ P1/2能级：L?1,S?1212,J?1212,M2??1212,g2?23 对于3S1/2能级：L?0,S?2,J?,M1??,g1?2 ~?(??v43,?224,,)L，所以从垂直于磁场方向观察，此谱线分裂为四条。 333~12~根据塞曼效应中裂开后的谱线同原谱线波数之差的表达式：?v??()????/?，?v???/???243L 因此，波长改变??为：???43L??0.54A，所以，最长的波长?max?2??为：?max??????5896.54A 最短的波长?min为：?min??????5895.46A 26.7 Na原子从3P?3S跃迁的精细结构为两条，波长分别为5895.93埃和5889.96埃。试求出原能级 2P3/2在磁场中 分裂后的最低能级与 P1/2分裂后的最高能级相并合时所需要的磁感应强度Ｂ。 解：对 2P3/2能级：l?1,s?1212,j?1232,M??1232,?2312,g?43; 2P1/2能级：l?1,s?222,j?,M??,g?2;磁场引起的附加能量为：?E?MgheB4?m222 设P3/2,P1/2,S1/2,对应的能量分别为E2,E1,E0，跃迁P3/2?S1/2,P1/2?S1/2,产生的谱线波长分别为?2,?1；那么， ???2?5889.96A,?1?5895.93A。 2P能级在磁场中发生分裂，2P3/2,2P1/2,的附加磁能分别记为?E2,?E1；现在寻求 第 23 页 共 38 页 E2??E2?E1??E1时的B。E2?E1??E1??E2?(M1g1?M2g2)由此得： eh4?mB (E2?E1)?(?E1??E2)hc?(M1g1?M2g2)eB4?mc 即： 1?2?1?1?(M1g1?M2g2)13eB4?mc，因此，有：B?4?mce1M1g1?M2g2?2(1?1?1) 其中M1g1?,M2g2??2，将它们及各量代入上式得：B=15.8特斯拉。 6.8 已知铁的原子束在横向不均匀磁场中分裂为9束。问铁原子的J值多大？其有效磁矩多大？如果已知上述铁原子的速度 v?10米/秒，铁的原子量为55.85，磁极范围L1?0.03米 ，磁铁到屏的距离L2?0.10米 ，磁场中横向的磁感应强度的不均 匀度 3dBdy3?10特斯拉/米，试求屏上偏离最远的两束之间的距离d。 解：分裂得条数为2J+1,现2J+1=9。所以J=4,有效磁矩3为：?J?ge2mPJ?gJ(J?1)?B 而J(J?1)?25，对 5D原子态：L?2,S?2,g?32，因此?J?35?B?6.21?10?23安?米 2与第二章11题相似， v??at,a??v???v?vfm??ydBmdy,t?L1/v?ydBL1mdyvAFeN0v?v? ?tg?,mFe?而S'?L2tg??L2?ydBL1L2mdy?3v2??Mg?BdBL1L2mdyv2将各量的数值代入上式，得：S'?1.799?10米，原子束在经过磁场L1距离后，偏离入射方向的距离：S??12m?dBdy(L1v)Mg?B 2其中，M??4,?3,?2,?1,0，可见，当M??4时，偏离最大。把M??4代入上式，得： S?N02AFe?dBdy(L1v)?24?32?B 把各量的数值代入上式，得：S2?2.79?10?3米。所以：d?2(S?S')?9.18?10?3米。 6.9 铊原子气体在P1/2状态。当磁铁调到B=0.2特斯拉时，观察到顺磁共振现象。问微波发生器的频率多大？ 解：对 2P1/2原子态：L?1,S?9?112,J?12,g?23，由hv?g?BB，得v?g?BB/h，代入各已知数，得 v?1.9?10秒。 第 24 页 共 38 页 6.10 钾原子在B=0.3特斯拉的磁场中，当交变电磁场的频率为8.4?10赫兹时观察到顺磁共振。试计算朗德因子g，并指出原子处在何种状态？ 解：由公式hv9?g?BB，得：g?2，钾外层只有一个价电子，所以s?12,j?l?s或l?s，又 g?1?j(j?1)?l(l?1)?s(s?1)2j(j?1)，将g?2和l?j?s代入上式，得到： g?1?j(j?1)?(j?s)(j?s?1)?s(s?1)2j(j?1)2?2 1212整理，得：j?(1?s)j?s?0。当s?12时，上方程有两个根：j1?,j2??1。当s??时，上方程有两个根： j3??12,j4??1 由于量子数不能为负数，因此j2,j3,j4无意义，弃之。 ?j?j1??j?l??l?01212?12 因此钾原子处于S1状态。 226.11 氩原子（Z=18）的基态为S0；钾原子（Z=19）的基态为S1；钙原子（Z=20）的基态为S0；钪原子（Z=21）的基态为D3。 221212问这些原子中哪些是抗磁性的？哪些是顺磁性的？为什么？ 答：凡是总磁矩等于零的原子或分子都表现为抗磁性；总磁矩不等于零的原子或分子都表现为顺磁性。 而总磁矩为?J?g1e2mPJ?gJ(J?1)?B 氩原子的基态为S0：L?0,S?0,J?0所以有?J?0故氩是抗磁性的。 同理，钙也是抗磁性的。 钾原子的基态为S1：L?0,S?221212,J?1232,g?2，所以有?J?0，故钾是顺磁性的。 钪原子的基态为D3：L?2,S?22,J?,g?45，所以有?J?0，故钪是顺磁性的。 6.22 若已知钒（F），锰（S），铁（D）的原子束，按照史特恩-盖拉赫实验方法通过及不均匀的磁场时，依次分裂成4，6和9个成分，试确定这些原子的磁矩的最大投影值。括号中给出了原子所处的状态。 解：原子的磁矩?J在磁矩方向的分量为?Z，?Z??Mg?B，其中M=J,J-1,??-J；式中的负号表示当M是正值时，?Z和磁场方向相反，当M是负值时?Z和磁场方向相同。?J在磁场中有2J+1个取向。?J在磁场中的最大分量：?Z最大?Jg?B 第 25 页 共 38 页 465