d)
氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式：
~?Z2R(1?1)v，22n1n2其中R?{n2?(n1?1),(n1?2)??
n1?1,2,3??2?me2243(4??0)h是里德伯常数。氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：
111H~v1?R(2?2)?H12?相应地，对类氢离子有：
~He??22R(1?1)?1v1He?2212?1111Li??2~v1?3R(2?2)?Li??12?1因此，
He??1H?1
?14,Li???1H?1???19
?e2.5 试问二次电离的锂离子Li从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处于基态的一次电离的氦粒子H电离掉？
??解：Li由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为： ?He的电离能量为：
的电子
vHe??4hcR?He(112?1?)?4hcRHehvLi??hvHe?由于
27RLi16RHe271?m/MHe??161?m/MLiHe
MHe?MLi,所以1?m/M?1?m/MLi，从而有hvLi???hvHe?，所以能将He的电子电离掉。
?2.6 氢与其同位素氘（质量数为2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。试问其巴耳末系的第一条（H?）光谱线之间的波长差??有多大？已知氢的里德伯常数RH?1.0967758?10米7?1，氘的里德伯常数RD?1.0970742?10米7?1。
解：
1?H1?RH(1212?131322)，?H?36/5RH
?D?RD(22?)，?D?36/5RD
????H??D??365(1RH?1RD)
?1.79A第 6 页 共 38 页
2.7 已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”。试计算“正电子素”由第一激发态向基态跃?迁发射光谱的波长?为多少A？
解：
1??Re?e?(112?122)?R?11?mm?34?38R，??83R??13?10973731?米?2430A
2.8 试证明氢原子中的电子从n+1轨道跃迁到n轨道，发射光子的频率?率。
n。当n>>1时光子频率即为电子绕第n玻尔轨道转动的频
~?证明：在氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n轨道所发光子的波数为：vn1?n?R[1n2?1(n?1)2]
频率为：vn?c??Rc[1n2?1(n?1)22]?2n?1n(n?1)422Rc
当n>>时，有(2n?1)/n(n?1)频率为：vn2?2n/n?2/n，所以在n>>1时，氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n轨道所发光子的
3?2Rc/n3。
设电子在第n轨道上的转动频率为fn，则
fn?vmvr22?r2?mr?P2?mr2?2Rcn3
因此，在n>>1时，有vn?fn
由上可见，当n>>1时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第n玻尔轨道转动的频率。这说明，在n很大时，玻尔理论过渡到经典理论，这就是对应原理。
2.9 Li原子序数Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：
~?vR(1?0.5951)2?R(n?0.0401)2。已知锂原子电离成Li???离子需要203.44电子伏特的功。问如把Li?离子电离成Li??离子，
需要多少电子伏特的功？
解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的p能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以Li?离子电离成Li??离子时，有
E1?Li??Rhc(1?0.5951)2?Rhc??R?hc(1?0.5951)??2?5.35电子伏特?Li???
是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此Li时，电离能E3为：
E3?设Li?ZRhc122?Z2RR?hc?122.4电子伏特。
????Li??的电离能为E2。而Li?Li需要的总能量是E=203.44电子伏特，所以有
E2?E?E1?E3?75.7电子伏特
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2.10 具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同？
答：设原子的磁矩为?，磁场沿Z方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为?Z，于是具有磁矩的原子在磁场中所受的力为
F??Z?B?Z，其中
?B?Z是磁场沿Z方向的梯度。对均匀磁场，
?B?Z?0，原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉摩
进动，且对磁场的 取向服从空间量子化规则。对于非均磁场，路径要发生偏转。
?B?Z?0原子在磁场中除做上述运动外，还受到力的作用，原子射束的
2.11 史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为
?B?Z?10特斯拉/米，磁极纵向范围
32L1=0.04米(见图2-2)，从磁极到屏距离L2=0.10米，原子的速度v?5?10米/秒。在屏上两束分开的距离d?0.002米。试确定原
子磁矩在磁场方向上投影?的大小（设磁场边缘的影响可忽略不计）。
解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线；在L2区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域L1后向外射出时粒子的速度为v，出射方向与入射方向间的夹角为?。?与速度间的关系为：tg???'v?v
粒子经过磁场L1出射时偏离入射方向的距离S为：
S?1?BL12()?Z……（1）将上式中用已知量表示出来变可以求出?Z
2m?Zvfm?v??at,a??v????Bm?Z,t?L1/v?Z?BL1m?ZvS'?L2tg??S?d2?S'??Z?BL1L2m?Zd2?v2
?Z?BL1L2m?Zv2把S代入（1）式中，得：
d2??Z?BL1L2m?Z?23v2??Z?BL12m?Zv22整理，得：
?Z?BL12m?Zv2(L1?2L2)?d2
由此得：?Z?0.93?10焦耳/特
2.12 观察高真空玻璃管中由激发原子束所发光谱线的强度沿原子射线束的减弱情况，可以测定各激发态的平均寿命。若已知原子束中原子速度v?10米/秒，在沿粒子束方向上相距1.5毫米其共振光谱线强度减少到1/3.32。试计算这种原子在共振激发态的平均寿命。
解：设沿粒子束上某点A和距这点的距离S=1.5毫米的 B点，共振谱线强度分别为I0和I1，并设粒子束在A点的时刻为零时刻，且此时处于激发态的粒子数为N，原子束经过t时间间隔从A到达B点，在B点处于激发态的粒子数为N2。
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光谱线的强度与处于激发态的原子数和单位时间内的跃迁几率成正比。设发射共振谱线的跃迁几率为A21，则有
I1I0?A21N2A21N20?N2N20，适当选取单位，使
I1I0?N2N201t?1/3.32，并注意到 N2?N20evs3?A21t,而t?S/v，
A21?则有：
(ln3.32?ln1)??svln3.32?6ln3.32?3N2N20?e?A21t?1/3.32，由此求得：t?1A21?1.5?1010?ln3.32
?1.25?10秒第三章 量子力学初步
?3.1 波长为1A的X光光子的动量和能量各为多少？
解：根据德布罗意关系式，得：动量为：p?h??6.63?10108?34?10?6.63?10?24千克?米?秒?1
能量为：
E?hv?hc/??6.63?10?34?3?10/10?10?1.986?10?15焦耳。
3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长??? 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？ 解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：
??h/得：??2meV 对于电子：m?9.11?10??31公斤，e?1.60?10?19库仑，把上述二量及h的值代入波长的表示式，可
12.25VA?12.2510000??A?0.1225A，对于质子，m?1.67?10?27公斤，e?1.60?10?19库仑，代入波长的表
示式，得：??6.626?102?1.67?10?27?34?19?2.862?10?1000012.25V??3?A?1.60?10
3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来??A的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为：
??12.25V(1?0.489?10?6?V)A
其中V是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。
K证明：德布罗意波长：对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K与其动量p之间有如下关系：??h/p，
而被电压V加速的电子的动能为：K?eV
2?2Km0c2?pc，
22?pp?2?(eV)c22?2m0eV22 因此有：??h/p?h2m0eV?1?1eV2m0c2
2m0eV?(eV)/c一般情况下，等式右边根式中eV/2m0c一项的值都是很小的。所以，可以将上式的根式作泰勒展开。只取前两项，得：
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??h2m0eV(1?eV4m0c2)?h2m0eV?(1?0.489?10?6V)
由于上式中h/2m0eV?12.25VA，其中V以伏特为单位，代回原式得：??12.25V(1?0.489?10?6?V)A
由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。
3.4 试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道，同样适用于椭圆轨道，试证明之。
证明：轨道量子化条件是：
?pdq?nh，对氢原子圆轨道来说，pr?0,p??mr2???mvr
?pd?所以有：
?2??mvr?nhhmv
S?2?r?n?n?,n?1,2,3??所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。椭圆轨道的量子化条件是：
??p?d??n?h
prdr?nrh?pr?mr,p??mr?其中
2???(prdr?p?d?)?nh,其中n?n??nr?而 (prdr?p?d?)???(mrdr2??mr?d?)
2???????(mr2drdtdt?mr?d?dtdt)?mvdt??rds?dsh?h??mvdsds因此，椭圆轨道也正好包含整数个德布罗意波波长。
???n3.5 带电粒子在威耳孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一串小雾滴，雾滴德线度约为1微米。当观察能量为1000电子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不小于多少？
解：由题知,电子动能K=1000电子伏特，?x?10?6米，动量相对偏差为?p/p。根据测不准原理，有?p?x?h2，由此得：
p??p?h2?x，经典力学的动量为：
2mK?h2?x2mK?3.09?10?5??pp
电子横向动量的不准确量与经典力学动量之比如此之小，足见电子的径迹与直线不会有明显区别。
3.6 证明自由运动的粒子（势能V?0）的能量可以有连续的值。
?ih??(p?r?Et)证明：自由粒子的波函数为：??Ae ??（1） 第 10 页 共 38 页